Еще больше шаров

[fortpost]

Ящики расставлены в бесконечный в обе стороны ряд. В начальный момент в одном из ящиков лежит шар, а остальные ящики пусты. Имеется неограниченный запас шаров. Разрешено вынуть один шар из любого ящика, а взамен положить по одному шару в каждый из двух соседних с ним ящиков. После того, как неоднократно проделали эту операцию с шарами, в N подряд расположенных ящиках оказалось по одинаковому количеству шаров, а остальные были пусты. При каких N такое возможно?

[Валерий]

Похоже здесь то же решение для N=5, и в каждом по 1 шару.

Другого пока не вижу 

[Sirion]

я владею няшным доказательством того,  что N не может быть кратно шести

[Sirion]

я уже владею няшным доказательством того, что N не может быть чётным

[Sirion]

Мои хитрые инварианты оказались не нужны =(

Пусть мы получили искомое состояние, когда в корзинах под номерами, скажем, от нуля до m содержится по n шаров, а в остальных - по нуль шаров. При этом изначальный шар находился в корзине под номером t (0<t<m). Обозначим за x_i количество операций вынимания шара из i-той корзины. Очевидно, для i<=0 и i>=k  x_i равняется нулю.

Пораскинув мозгами, получаем систему уравнений:

x₁=n
-x₁+x₂=n
x₂-x₃+x₄=n
....................
x_t-1-x_t+x_t+1=n-1 (ы)
...............................
x_m-1=n

Итого, у нас m уравнений на m-2 неизвестных. Мы можем выкинуть уравнение (ы) и из остальных найти все иксы (x_t мы найдём аж двумя способами - допустим, что результаты получились одинаковые). При этом все иксы окажутся кратны n (легко доказывается по индукции). Теперь вернёмся к уравнению (ы) и узрим, что левая часть, кратная эн, оказывается равна n-1. Это возможно лишь при n=1 (если n натуральное, разумеется).

Таким образом, задача сводится к предыдущей.

[fortpost]

А-а-а -аблом! Абыднааа!