33 богатыря

[Tim]

а в одной точке могут пересекаться несколько или только двое?

Видимо несколько, иначе вряд ли получится

[пестерь]

может ответ уже есть, но вот моё
скорость самого быстрого =1, тогда остальные например 32/33, 31/32, 30/31 и тд

это не подходит чтоли?

[fortpost]

может ответ уже есть, но вот моё
скорость самого быстрого =1, тогда остальные например 32/33, 31/32, 30/31 и тд

это не подходит чтоли?

Скорость самого медленного богатыря 1/2. Тогда, например, (32/33)/(32/33-1/2)=64/31, а оно не целое.

[Michael]

Пусть все богатыри стартуют одновременно из одной точки.
Занумеруем их по возрастанию скоростей - самый медленный  1-й, самый быстрый 33-й.
Их скорости V1, V2,...V33.
Обозначим R12 разность V2-V1, R13 разность V3-V1, ... R3233 разность V33-V32.

--------------------------
Условие делимости:
Пусть V5 делится нацело на (V10-V5), например, V5 / (V10-V5) = 3. Тогда когда 5-й сделает 1 круг, 10-й обгонит его на 1/3 круга, когда 5-й сделает 2 круга, 10-й обгонит его на 2/3 круга, когда 5-й сделает 3 круга, 10-й обгонит его на целый круг и они встретятся только в точке старта.
----------------------

Аналогично
богатыри 5 и 6 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V6-V5)=R56
богатыри 5 и 7 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V7-V5)=R56 + R67
богатыри 5 и 8 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на (V8-V5)=R56 + R67 + R78
...
...
...
богатыри 5 и 33 встретятся только в точке старта когда V5 делится нацело на
(V33-V5)=R56 + R67 + R78 + ... + R3031 + R3132 + R3233

Если V4 и R45 оба делятся на
х=R56*(R56+R67)*(R56+R67+R78)...*(R56+R67+R78+...+R3031+R3132+R3233),
то V5 = V4 + R45 тоже будет делится на х.

Будем определять разности R, начиная с конца, пусть
R3233=1
R3132=R3233
R3031=R3132*(R3132+R3233)
R2930 = R3031 * (R3031+R3132) * (R3031+R3132+R3233)
...
R12=R23 * (R23+R34) * (R23+R34+R45) * ... * (R23+R34+R45+...+R3231+R3332)

Наконец пусть
V1=R12 * (R12+R23) * (R12+R23+R34) *... * (R12+R23+R34+...+R3231+R3332).

Тогда
V2=V1+R12 делится на R23 * (R23+R34) * (R23+R34+R45) * ... * (R23+R34+R45+...+R3231+R3332),
V3=V2+R23 делится на R34 * (R34+R45) * (R34+R45+R56) * ... * (R34+R45+R56+...+R3231+R3332),
.............
V32=V331+R3132 делится на R3233.
Таким образом, для любых двух богатырей выполняется Условие делимости:.
Получилось запутанно, но как проще не знаю.

[fortpost]

Michael, красиво, но длинновато. А авторское решение такое вот.
Показать скрытый текст

Если богатыри стартуют из одной точки, и для каждой пары их скоростей u и v числа u/(u-v) и v/(u-v) – целые, то все обгоны происходят в точке старта. Для трех богатырей подойдут скорости 2, 3 и 4. Для большего числа богатырей скорости строятся по индукции: по набору u, v, ..., w строится набор   P – u,  P – v,  ...,  P – w,  P,   где  P = uv...w.

[Michael]

fortpost, с авторским решением что-то не ладится. P=2*3*4=24. v4= P – u=24 -2=22. 2/(22-2) - не целое. Или я что-то не догоняю? 

[fortpost]

fortpost, с авторским решением что-то не ладится. P=2*3*4=24. v4= P – u=24 -2=22. 2/(22-2) - не целое. Или я что-то не догоняю? 

Michael, делаем так.
P=u*v*w=2*3*4=24. u₁=P-u=24-2=22; v₁=P-v=24-3=21; w₁=P-w=24-4=20; y=P=24.
Можно убедиться, что для этих значений нужное соотношение выполняется.