Олимпиада

[BIVES]

3. Используем метод мат. индукции.
  1) x₁+(1-x₁)=1<=1
  2) Пусть x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1)<=1
  3) Докажем, что неравенство верно для n
   x₁*...*x_n-1*x_n=((x₁*...*x_n-1)²(x_n)²)^0,5<=((x₁*...*x_n-1)²+(x_n)²)/2<=(x₁*x₂*...*x_n-1)/2+(x_n)/2.
Аналогично доказывается, что
(1-x₁)...(1-x_n)<=((1-x₁)...(1-x_n-1))/2+(1-x_n)/2. 
Сложив полученные неравенства, используя индуктивное предположение 2) получим
x₁*x₂*...*x_n+(1-x₁)...(1-x_n)<=(x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1))/2+1/2<=1.   

[fortpost]

4. -5a+bc-10=0 -> a=(bc-10)/5
    -10x+bc-5=0 -> x=(bc-5)/10=(bc-10+5)/10=(bc-10)/10+1/2=1/2(bc-10)/5+1/2=(a+1)/2

[Валерий]

4. Даны 10 точек, являющихся вершинами выпуклого десятиугольника. Какое наибольшее число треугольников с вершинами в этих точках можно выбрать таким образом, чтобы каждый треугольник имел сторону, не являющуюся стороной других выбранных треугольников?

Если правильно понял условие, то 36. (8+7+6+5+4+3+2+1)

[moonlight]

10 точек можно соединить 10*9/2=45 отрезками. Из 45 отрезков можно построить не более 45/3=15 треугольников, но все отрезки использовать не получится - максимум 13 треугольников.
Осталось это доказать.))

[iPhonograph]

3. Используем метод мат. индукции.
  1) x₁+(1-x₁)=1<=1
  2) Пусть x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1)<=1
  3) Докажем, что неравенство верно для n
   x₁*...*x_n-1*x_n=((x₁*...*x_n-1)²(x_n)²)^0,5<=((x₁*...*x_n-1)²+(x_n)²)/2<=(x₁*x₂*...*x_n-1)/2+(x_n)/2.
Аналогично доказывается, что
(1-x₁)...(1-x_n)<=((1-x₁)...(1-x_n-1))/2+(1-x_n)/2. 
Сложив полученные неравенства, используя индуктивное предположение 2) получим
x₁*x₂*...*x_n+(1-x₁)...(1-x_n)<=(x₁*x₂*...*x_n-1+(1-x₁)...(1-x_n-1))/2+1/2<=1.   

бивис, у вас склонность к усложнению решений?  наблюдаю уже не в первый раз )))

в каждом слагаемом все сомножители кроме первого заменим на 1, получим требуемое неравенство
x₁*x₂*...*x_n+(1-x₁)...(1-x_n) <= x₁ + (1-x₁) <= 1

а можно ещё проще - представьте, что слагаемые - это объёмы двух непересекающихся гиперпараллелепипедов внутри единичного гиперкуба

[iPhonograph]

10 точек можно соединить 10*9/2=45 отрезками. Из 45 отрезков можно построить не более 45/3=15 треугольников, но все отрезки использовать не получится - максимум 13 треугольников.
Осталось это доказать.))

у каждого треугольника требуется только одна сторона, которой он не хочет делиться с остальными.  две другие стороны могут быть общими с кем-то