Показываю.
Показать скрытый текст
Пронумеруем прямоугольники разбиения. Пусть в i -м прямоугольнике лежат числа ai и bi .
ai2+bi2 (ai-bi)2
Заметим, что aibi = ────── - ─────
2 2
Просуммировав эти равенства по всем прямоугольникам, получаем, что сумма всех 50 произведений равна
a12+...+a502 + b12+...+b502 (a1-b1)2+...+(a50-b50)2
S = ──────────────────── - ─────────────────
2 2
12+...+1002
Заметим, что первая дробь равна ───────── , т.е. не зависит от разбиения.
2
В числителе же второй дроби каждый квадрат равен либо 12 , либо 102 – в зависимости от того, горизонтален или вертикален i -й прямоугольник. Поэтому вторая дробь будет максимальна (а итоговая сумма – минимальна) тогда, когда все слагаемые в числителе будут равняться 100, т.е. когда все прямоугольники будут вертикальны.
