Путешествие солдата

[Sirion]

Солдат со своей женой жил в маленьком домике на бесконечной клетчатой плоскости. В каждой клетке этой плоскости, помимо лесов, полей и прочего ландшафта, стоял указатель, который был направлен на север, юг, запад или восток. Указатели были расставлены по плоскости совершенно случайно (т.е. каждое из четырёх направлений встречалось с равной вероятностью). В клетке с домом солдата тоже стоял указатель - для определённости, он был направлен на север.

Однажды солдат решил отправиться в путешествие. Но ревнивая жена, прежде чем отпустить его, поставила три условия:

1) Ходить строго по указателям.
2) Не ходить налево.
3) Вернуться домой.

Какова вероятность, что солдату удастся соблюсти все эти условия?

P.S. Разворот кругом выполняется через левое плечо, поэтому он также считается поворотом налево.

[семеныч]

Разворот кругом можно делать сальтом назад или сальтом вперед с вращением на 360:crazy:



Солдаты не путешествуют

ня



на новогоднюю как то не тянет

[Sirion]

семёныч, у тебя, видать, строевой подготовки не было =)

[Michael]

На глаз получается примерно 0.0050567901234

[Sirion]

близко, но не совсем

[Michael]

Да, надо ещё умножить на 4. Вроде бы, получается  4 * (1/15) * (1/15) * (16/15) * (16/15) = 0.0202271604938. Меня сначала напугало что 16/15>1, но, кажется, ничего страшного.

 

[Sirion]

теперь много) я, на всякий случай, ещё пересчитаю...

[moonlight]

а что должен делать солдат если встретит указатель направленный налево или назад?

[iPhonograph]

наверное, должен сразу же застрелиться )

[moonlight]

а ещё можно вечно ходить по кругу прямоугольнику вокруг дома
0,019041975308642

[Sirion]

а вот это правда

[moonlight]

964/50625

[Sirion]

оно же ((4/15)⁴+(4/15)²)/4

[Michael]

Окей, ребята, скажите где у меня ошибка.
 - Либо среди описанных траекторий не хватает какой-то , тогда укажите какой (типа 5 шагов на север, 3 шага на восток и т.д).
 - Либо какая-то траектория лишняя.
 - Либо неправильно посчитана вероятность одной траектории .
 - Либо неправильно посчитана сумма вероятностей траекторий
 - Либо давайте своё доказательство.
===============
Сначала опишем хорошие траектории солдата, когда он слушается жену.
Дом солдата в точке 0.
Первый шаг он делает на север (по условию).
На север   он делает а шагов до точки 1.    а=1,2,3...  Следующий шаг - только направо.
На восток он делает б шагов  до точки 2.   б=1,2,3...  Следующий шаг - только направо.
На юг       он делает а шагов  до точки 3.                    Следующий шаг - (например) направо.
На запад   он делает б шагов  до точки 0.                   Он вернулся домой в точку 0.
То есть (например) он движется по периметру прямоугольника 0123.

Но это ещё не все хорошие траетории.
От точки 3 он может сделать дополнителные  х шагов на юг (х=0,1,2,3...) до точки 4
От точки 4 он делает обязательные б шагов на запад до точки 5
От точки 5 он может сделать дополнителные у шагов на запад (у=0,1,2,3...) до точки 6
От точки 6 он делает х шагов на север до точки 7.
От точки 7 он делает у шагов на восток до точки 0.
В итоге солдат описывает хорошую траекторию 012345670.
В частности, если х=0 и у=0, получаем прямоугольник 0123.

                                                       б
                                             1 _ _ _ _ _ _ 2
                                             |                   |   
                                             |                   |   
                                             |                   |   
                                       а    |                   |     а
                                             |                   |   
                                             |                   |   
                                      у     |                   |   
                                7_ _ _ _ 0 . . . . . . . . .3
                                |            .                   |
                                |            .                   |
                     х          |            .                   |     х
                                |            .                   |
                                6_ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ _ 4 
                                      у                б

Вероятность Р такой одной траектории движения солдата - это вероятность того что указатели лягут именно так как мы описали выше.

Р=(1/4)^(а-1) * (1/4)^б * (1/4)^а * (1/4)^х * (1/4)^б * (1/4)^у * (1/4)^х * (1/4)^у
а=1,2,3...
б=1,2,3...   
х=0,1,2,3...   
у=0,1,2,3...
Первый шаг на север определён по условию, значит его вероятность равна не 1/4, а 1, поэтому первая скобка (вероятность а шагов на север) - не (1/4)^а, а (1/4)^(а-1).
 
вероятность одной траектории Р=4*(1/16)^а * (1/16)^б * (1/16)^х * (1/16)^у
Теперь надо сложить все возможные траектории Р (для а=1,2,3...,   б=1,2,3...,   х=0,1,2,3..., у=0,1,2,3...)
После вынесения за скобки получим

СУММА ВЕРОЯТНОСТЕЙ=
4*
[(1/16)^1 + (1/16)^2 + (1/16)^3 + ...] *
[(1/16)^1 + (1/16)^2 + (1/16)^3 + ...] *
[(1/16)^0 + (1/16)^1 + (1/16)^2 + ...] *
[(1/16)^0 + (1/16)^1 + (1/16)^2 + ...] =
4* (1/15) * (1/15) * (16/15) * (16/15) =1024/50625=0.0202271604938


Я пропустил детали, чтобы доказательство не стало огромным.





                                 

[Michael]

а ещё можно вечно ходить по кругу прямоугольнику вокруг дома
0,019041975308642

Жена велела
3) Вернуться домой.
Вечно кружить (квадратить?) вокруг дома - значит нарушить условия.