Поворот квадрата

[пестерь]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//

//текст доступен после регистрации//

 По "Y" - высота вершины, по "X" - угол поворота. Точка пересечения - квадрат полностью вышел (Х=~45) и высота равна стороне квадрата.
Слева направо: черный, синий, красный.
  При движении вершина опускается поворачиваясь и поднимается вверх выходя из паза, в первом случае преобладает поворот, во втором они равнозначны в начале движения, поэтому компенсируют друг друга, в третьем подъем вверх сильнее поворачивания.
 Ещё раз формула:
Показать скрытый текст

h=(d-2/2^0.5*c*sin(x+pi/4)*cos(x+pi/4)/(sin(x+pi/4)+cos(x+pi/4)))*cos(x),
где h - высота
      с - расстояние между опорами
      x - угол поворота.

  Синим обозначен вклад подъёма вершины при выходе из паза, красным опускание при повороте

[Димыч]

Формулу можно сильно упростить. Я решал в уме, получилось d*cos(x)-h*cos(2x), где h — начальная «глубина погружения», то есть h=c/2, используя обозначения Пестеря. Дальше вспоминаем, как примерно выглядит формула Тейлора для косинуса, и получаем, что вершина опустится при h<d/4 и поднимется при h>d/4. При h=d/4 опустится (здесь уже нужно учесть знак коэффициента перед 4 степенью в формуле Тейлора).

[moonlight]

Формулу можно ещё более упростить и обойтись без всяких там "бесконечно малых" величин. Это школьная задача.

[пестерь]

Формулу можно ещё более упростить и обойтись без всяких там "бесконечно малых" величин. Это школьная задача.

The devil is in the details

[Димыч]

Слона-то я и не приметил… Обычный квадратный трехчлен.

[moonlight]

если c=1 то h(x)-h(0)=(1-cos(x))(1-d+cos(x)).

[BIVES]

h будет наибольшим если площадь треугольника ABC наибольшая.
S_ABC=1-1/2(ab+(1-b)*1+(1-a)*1)=1/2(a+b-ab).
По теореме Пифагора
a²+b²=c². (1)
Откуда следует, что (a+b)²=c²+2ab.
Значит, S_ABC=1/2((c²+2ab)^1/2-ab).
Справедливо неравенство a²+b²>=2ab. (2)
Поэтому max(0,c²-1)=<ab=<c²/2.
1) Если с>=1, то  функция S_ABC(ab) убывает на отрезке  [c²-1,c²/2], поэтому максимум достигается при ab=c²-1. (поднимется)
2) Если 1/(2^1/2)<c<1, то  функция S_ABC(ab) возрастает на отрезке [0,(1-c²)/2] и убывает на отрезке [(1-c²)/2,c²/2], поэтому максимум достигается при ab=(1-c²)/2. (поднимется)
3) Если 0<c=<1/(2^1/2), то функция S_ABC(ab) возрастает на отрезке [0,c²/2], поэтому максимум достигается при ab=c²/2.
В силу равенства (1) и неравенства (2)  ab=c²/2 только когда a=b=c/(2^1/2).
Поэтому в 3-ем случае опустится. 

[пестерь]

Формулу можно ещё более упростить и обойтись без всяких там "бесконечно малых" величин. Это школьная задача.

Хотелось бы авторское решение

[moonlight]

//текст доступен после регистрации//