Разные первообразные

[fortpost]

В некоторой школе, в некотором классе ученики искали первообразную для функции
f(х) = sin х · cos х. И было получено два ответа: F₁ (х) = 1/2 sin²x, F₂ (х) = -1/2 cos²x. Поскольку все полагали, что нашли одну и ту же первообразную, на доске появилось равенство 1/2 sin²x = -1/2 cos²x, откуда быстренько оказалось sin² х + cos² x = 0, или, попросту говоря, 1 = 0.
От такой чепухи надо было поскорее избавиться и полученные ответы были записаны иначе:
F₁ (х) = 1/2 sin²x + C, F₂ (х) = -1/2 cos²x + C. Однако на доске опять появилось равенство
1/2 sin²x + C = -1/2 cos²x + C, из которого после вычитания С снова получилось 1 = 0.
И тогда ответы были записаны совсем аккуратно:
F₁ (х) = 1/2 sin²x + C₁, F₂ (х) = -1/2 cos²x + C₂. Но ведь этими постоянными могут быть любые числа, в том числе — одни и те же. И опять на доске появилось равенство
1/2 sin²x + 2013 = -1/2 cos²x + 2013, из которого после вычитания 2013 снова получилось
1 = 0.
В той школе, в том классе в конце концов поняли, что можно и чего нельзя писать, когда имеешь дело с первообразными. А вы?

[mayer]

 Не люблю триногометрию, но предположу. Показать скрытый текст

что была неправильно взята первообразная, так как f(х) = sin х · cos х. это одна целая функция.И ее нельзя делить по частям

[☭-Изделие 20Д]

В некоторой школе, в некотором классе ученики искали первообразную для функции
f(х) = sin х · cos х. И было получено два ответа: F₁ (х) = 1/2 sin²x, F₂ (х) = -1/2 cos²x. Поскольку все полагали, что нашли одну и ту же первообразную, на доске появилось равенство 1/2 sin²x = -1/2 cos²x, откуда быстренько оказалось sin² х + cos² x = 0, или, попросту говоря, 1 = 0.
От такой чепухи надо было поскорее избавиться и полученные ответы были записаны иначе:
F₁ (х) = 1/2 sin²x + C, F₂ (х) = -1/2 cos²x + C. Однако на доске опять появилось равенство
1/2 sin²x + C = -1/2 cos²x + C, из которого после вычитания С снова получилось 1 = 0.
И тогда ответы были записаны совсем аккуратно:
F₁ (х) = 1/2 sin²x + C₁, F₂ (х) = -1/2 cos²x + C₂. Но ведь этими постоянными могут быть любые числа, в том числе — одни и те же. И опять на доске появилось равенство
1/2 sin²x + 2013 = -1/2 cos²x + 2013, из которого после вычитания 2013 снова получилось
1 = 0.
В той школе, в том классе в конце концов поняли, что можно и чего нельзя писать, когда имеешь дело с первообразными. А вы?

Первообразные - это тоже самое, что и производные
Мои воспоминания подсказывают, что по идее должно было получится что-то вроде
Показать скрытый текст

cos(x)^2-sin(x)^2

  если нет, то надо снова идти в школу 
Ну ладно поменяли историю, но зачем к математике то лезть надо было 

[fortpost]

Не люблю триногометрию, но предположу. Показать скрытый текст

что была неправильно взята первообразная, так как f(х) = sin х · cos х. это одна целая функция.И ее нельзя делить по частям

Та в том и прикол, что первообразная посчитана правильно.

[fortpost]

Первообразные - это тоже самое, что и производные

Ежели маленько уточнить, то первообразная и производная есть взаимно обратные объекты. Как, скажем, степень и корень.

Мои воспоминания подсказывают, что по идее должно было получится что-то вроде
Показать скрытый текст

cos(x)^2-sin(x)^2

  если нет, то надо снова идти в школу 
Ну ладно поменяли историю, но зачем к математике то лезть надо было 

А получилось у школьников так.
a) ⌠                           ⌠
    ⌡sin х · cos х dx = ⌡sin x d(sin x) = 1/2 sin²x

b) ⌠                           ⌠
    ⌡sin х · cos х dx = ⌡-cos x d(cos x) = -1/2 cos²x

[пестерь]

Может так?
Показать скрытый текст

Нельзя говорить о равенстве первообразных, если равны их производные

[☭-Изделие 20Д]

Может так?
Показать скрытый текст

Нельзя говорить о равенстве первообразных, если равны их производные

Выходит изображает отчасти - деление на 0 Только никто пока на базе этого не пробовал доказывать баян 2+2=5

[Димыч]

Ох, равны множества первообразных, все было бы правильно, если бы там приравнивались множества, а не голые формулы.

[fortpost]

Может так?
Показать скрытый текст

Нельзя говорить о равенстве первообразных, если равны их производные

Да, верно, но это еще не все.

[fortpost]

Ох, равны множества первообразных, все было бы правильно, если бы там приравнивались множества, а не голые формулы.

Оно и правильно, но в конкретном данном случае какой ответ?

[пестерь]

Ох, равны множества первообразных, все было бы правильно, если бы там приравнивались множества, а не голые формулы.

Оно и правильно, но в конкретном данном случае какой ответ?

Абы каки константы брать нельзя
 Показать скрытый текст

C1+C2=1/2

[fortpost]

Ох, равны множества первообразных, все было бы правильно, если бы там приравнивались множества, а не голые формулы.

Оно и правильно, но в конкретном данном случае какой ответ?

Абы каки константы брать нельзя
 Показать скрытый текст

C1+C2=1/2

Вот оно!!!