Не будите тигра!

[fortpost]

В вершинах правильного n-угольника стоят фонари, а в центре спит тигр, просыпающийся от света. Фонарь освещает круг, величина которого зависит от  мощности фонаря. Фонарщик зажигает фонари и регулирует их мощность. А еще у него есть переносной фонарик, который нельзя носить зажженным. Ходит фонарщик может только по освещенным местам. Сейчас фонари погашены, а фонарщик стоит у одного из них. При каких n он сможет зажечь все фонари, не разбудив тигра?

[iPhonograph]

Показать скрытый текст

при любых, но при n=3 ему придётся выйти за пределы треугольника, оставаясь на освещённом месте

[fortpost]

Показать скрытый текст

при любых, но при n=3 ему придётся выйти за пределы треугольника, оставаясь на освещённом месте

А каким же образом? Алгоритм действий фонарщика откроете?

[iPhonograph]

Показать скрытый текст

он ходит по описанному вокруг треугольника шестиугольнику

[fortpost]

Показать скрытый текст

он ходит по описанному вокруг треугольника шестиугольнику

Но тогда ведь свет и до тигра достанет!

[Руслан Дехтярь]

del

[Руслан Дехтярь]

Не совсем понятен принцип работы фонарика. Фонарщик может, например, положить его и по его свету перейти к другому фонарю?

[fortpost]

Не совсем понятен принцип работы фонарика. Фонарщик может, например, положить его и по его свету перейти к другому фонарю?

Да, может.

[Руслан Дехтярь]

По идее, если сторона данного n- угольника будет меньше, чем радиус описанной около него окружности. Это возможно от n>=7

[fortpost]

По идее, если сторона данного n- угольника будет меньше, чем радиус описанной около него окружности. Это возможно от n>=7

А можно n и поменьше сделать.

[☭-Изделие 20Д]

Если он не только зажигает, но ещё и регулирует то начиная с Н=6 можно будет достаточно комфортно гулять по периметру не считая небодьших темных участков на сторонах, необходимых для того чтобы круг светы не возбуждал тигру.

[Димыч]

Показать скрытый текст

Фонарщик может зажечь фонари в вершинах квадрата, поскольку сторона правильного восьмиугольника меньше радиуса описанной окружности. Он строит восьмиугольник так, что вершины квадрата являются вершинами восьмиугольника через одну. Регулирует первый фонарь так, чтобы освещалась соседняя вершина восьмиугольника, ставит там переносной фонарь и регулирует его так же, после этого можно зажечь следующий фонарь и забрать переносной и т. д.
Для треугольника это уже не сработает, потому что сторона правильного шестиугольника точно равна радиусу описанной окружности. Чтобы строго доказать, что решения в этом случае нет, проведем окружность с центром в фонаре, у которого в начале стоит фонарщик, и радиусом, равным радиусу описанной вокруг треугольника окружности, т. е. расстоянию от фонаря до центра. Это критическая окружность — если первый фонарь осветит ее, он разбудит тигра. Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие центр с другими двумя фонарями, и проведем серединные перпендикуляры к ним. Легко видеть, что эти перпендикуляры будут в точности касательными к критической окружности. Отсюда видно, что любая точка внутри критической окружности ближе к центру, чем к другим фонарям. Значит, где бы фонарщик ни поставил переносной фонарь, он не сможет осветить другой фонарь (кроме первого), не разбудив тигра. Конечно, если мы считаем всё математическими точками

[fortpost]

Показать скрытый текст

Фонарщик может зажечь фонари в вершинах квадрата, поскольку сторона правильного восьмиугольника меньше радиуса описанной окружности. Он строит восьмиугольник так, что вершины квадрата являются вершинами восьмиугольника через одну. Регулирует первый фонарь так, чтобы освещалась соседняя вершина восьмиугольника, ставит там переносной фонарь и регулирует его так же, после этого можно зажечь следующий фонарь и забрать переносной и т. д.
Для треугольника это уже не сработает, потому что сторона правильного шестиугольника точно равна радиусу описанной окружности. Чтобы строго доказать, что решения в этом случае нет, проведем окружность с центром в фонаре, у которого в начале стоит фонарщик, и радиусом, равным радиусу описанной вокруг треугольника окружности, т. е. расстоянию от фонаря до центра. Это критическая окружность — если первый фонарь осветит ее, он разбудит тигра. Теперь рассмотрим отрезки, соединяющие центр с другими двумя фонарями, и проведем серединные перпендикуляры к ним. Легко видеть, что эти перпендикуляры будут в точности касательными к критической окружности. Отсюда видно, что любая точка внутри критической окружности ближе к центру, чем к другим фонарям. Значит, где бы фонарщик ни поставил переносной фонарь, он не сможет осветить другой фонарь (кроме первого), не разбудив тигра. Конечно, если мы считаем всё математическими точками

Класс!!!