Это авторское решение.
Показать скрытый текст
Из 16 возможных комбинаций истины и лжи, с высказыванием «А утверждает, что В отрицает, что С говорит, будто Д лжец» совместимы лишь такие комбинации, в которые ложь входит четное число раз. Следовательно, если Д изрекает истину, то А, В и С должны говорить истину, или ровно двое из них должны лгать. Поскольку каждый из четырех высказывающихся говорит правду в одном случае из трех и делает это независимо от других, то следует рассмотреть З4=81 возможность.
Комбинацию ИИИИ можно получить лишь одним способом, каждую из комбинаций ИЛЛИ, ЛИЛИ и ЛЛИИ-четырьмя способами: 1 + 4 + 4 + 4 = 13. Таким образом, вероятность того, что Д говорит правду, равна 13/81.
Аналогично, если Д лжет, то комбинацию ЛЛЛЛ можно получить 16 способами, а каждую из комбинаций ИИЛЛ, ЛИИЛ, ИЛИЛ -четырьмя способами. Следовательно, вероятность того, что Д лжет, равна 28/81.
А говорит правду при комбинациях ИИИИ‚ ИИЛЛ, ИЛИЛ‚ ИЛЛИ; вероятность в этом случае равна 13/81. Такую же вероятность мы получим для комбинаций, где В говорит правду и где С говорит правду.
А это правильное решение.
Показать скрытый текст
Самую знаменитую задачу этого типа, усложненную введением вероятностных весов и не очень ясной формулировкой, можно найти довольно неожиданно в середине шестой главы книги английского астронома А. Эддингтона «New Pathways in Science[Cambridge: 1935; Michigan: 1959]». «Если А, В, С и D говорят правду в одном случае из трех (независимо друг от друга) и А утверждает, что В отрицает, что С говорит, будто D лжец, то какова вероятность того, что D сказал правду?»
Ответ Эддингтона, 25/71 был встречен градом протестов со стороны читателей и породил смешной и путаный спор, который так и не был разрешен окончательно. Английский астроном Г. Дингл, автор рецензии на книгу Эддингтона, опубликованной в журнале Nature (March 1935), считал, что задача вообще не заслуживает внимания как бессмысленная и свидетельствует лишь о том, что Эддингтон недостаточно продумал основные идеи теории вероятностей. Американский физик Т. Стерн (Nature, June 1935) возразил на это, заявив, что, по его мнению, задача отнюдь не бессмысленна, но данных для ее решения недостаточно.
В ответ Дингл заметил (Nature, September 1935), что если встать на точку зрения Стерна, то данных для решения вполне достаточно и ответ будет 1/3. Тут в драку вступил Эддингтон, опубликовав (Mathemetical gazette, October 1935) статью с подробным объяснением того, как он получил свой ответ. Спор завершился еще двумя статьями, появившимися в том же журнале, автор одной из них выступил в защиту Эддингтона, а в другой выдвигалась точка зрения, отличная от всех прежних.
Трудность кроется главным образом в понимании эддингтоновской формулировки. Если В, высказывая свое отрицание, говорит правду, то можем ли мы с достаточным основанием предполагать, что С сказал, что D изрек истину? Эддингтон считал, что оснований для такого предположения недостаточно. Точно так же если А лжет, то можем ли мы быть уверенными в том, что В и С вообще что-либо сказали? К счастью, мы можем обойти все эти языковые трудности, приняв следующие допущения (Эддингтон их не делал):
1. Никто из четверых не промолчал.
2. Высказывания А, В и С (каждого из них в отдельности) либо подтверждают, либо отрицают следующее за ним высказывание.
3. Ложное утверждение совпадает со своим отрицанием, а ложное отрицание совпадает с утверждением.
Все четверо лгут независимо друг от друга с вероятностью 1/3, то есть в среднем любые два из трех их высказываний ложны. Если правдивое высказывание обозначить буквой И, а ложное — буквой Л, то для А, В, С и D мы получим таблицу, состоящую из восьмидесяти одной различной комбинации. Из этого числа следует исключить те комбинации, которые невозможны в силу условий задачи.
Число допустимых комбинаций, оканчивающихся буквой И (то есть правдивым — истинным — высказыванием D), следует разделить на общее число всех допустимых комбинаций, что и даст ответ.
В задаче Эддингтона вероятность того, что D говорит правду, составляет 13/41. Все комбинации истины и лжи, которые содержат нечетное число раз ложь (или истину), следует отбросить как противоречащие условиям задачи. В результате число возможных комбинаций понижается с 81 до 41, из них только 13 заканчиваются правдивым высказыванием D. Поскольку А, В и С говорят правду в случаях, которые отвечают точно такому же числу допустимых комбинаций, вероятность сказать правду у всех четырех одинакова.
Используя символ эквивалентности ≡ означающий, что соединенные им высказывания либо оба истинны, либо оба ложны (тогда ложное высказывание истинно, в противном случае оно ложно), и символ отрицания ~, задачу Эддингтона на языке исчисления высказываний можно записать так: A ≡ [B ≡ ~ (C ≡~ D)]
или после некоторых упрощений так: A ≡ [B ≡ (C ≡ D)]
Таблица истинности этого выражения подтверждает уже полученный ответ.
