х на х и х-м погоняет

[zhekas]

Кстати. Если попробовать найти корень для 4. То получится x = 4^(1/4) = 2^(1/2). А это ничто иное как корень для 2.

[zhekas]

Кстати. Если попробовать найти корень для 4. То получится x = 4^(1/4) = 2^(1/2). А это ничто иное как корень для 2.

Таким образом, скорее всего, и для n=3 существует вещественно t<>3, такое что t^(1/t) = 3^(1/3), которое является корнем x^x^x^.... = t
Тоесть 3^(1/3) является корнем уравнения x^x^x^.... = t, а не для x^x^x^.... = t.

[fortpost]

Кстати. Если попробовать найти корень для 4. То получится x = 4^(1/4) = 2^(1/2). А это ничто иное как корень для 2.

Таким образом, скорее всего, и для n=3 существует вещественно t<>3, такое что t^(1/t) = 3^(1/3), которое является корнем x^x^x^.... = t
Тоесть 3^(1/3) является корнем уравнения x^x^x^.... = t, а не для x^x^x^.... = t.

Эта ваша мысль не совсеи понятна. Особенно последняя строчка.

[zhekas]

У уравнения t^(1/t) = 3^(1/3) существуют 2 корня, так как функция f(t) = t^(1/t) на отрезке от 1 до бесконечности сначала возрастает до точки e, потом убывает.

То есть существует 1 < t0 < e, такое что.  t0^(1/t0) = 3^(1/3).

Теперь рассмотрим два уравнения

x^x^x^.... = 3      и      x^x^x^.... = t0
первое, если и имеет корень, то только 3^(1/3)
второе. если и имеет корень,  то только t0^(1/t0)

Но это одно и тоже число. Следовательно наша функция от одного и тогоже числа не может быть равна одновременно и 3 и t0. Так вот, скорее всего, f(3^(1/3)) = t0 (коль вы сказали, что при подстановке равенства не получается).

[zhekas]

Итак, дадим полностью обоснованный ответ.

У нас есть уравнение:

...(((x)^x)^x)^x)^...  =3
Если и есть у этого уравнение корень, то это корень уравнения x^3 = 3. То есть x = 3^(1/3).

Рассмотрим функцию g(t) = t^(1/t). На промежутке [1,\infty) данная функция возрастает до точки e, а далее убывает. g(1) = 1. lim_{t->\infty} g(t) = 1
Поэтому существует 1<t0<e, такое что t0^(1/t0) = 3^(1/3)

Для уравнения
...(((x)^x)^x)^x)^...  = t0
Если и есть корень, то это t0^(1/t0).

По математической индукци можно доказать, что для функци f(x) = x^x^x^x^....
f(3^(1/3)) <=3
Аналогично
f(t0^(1/t0)) <=t0

Но так как 3^(1/3) и t0^(1/t0) это одно и тоже число, то получаем, что
f(3^(1/3)) <=t0 <3

Тоесть число 3^(1/3) не является корнем уравнения

x^x^x^... = 3
А следовательно у этого уравнения вообще нет корней.

Так же заметим, что,аналогично, корней нет и у уравнений
x^x^x^x^.... = t, где t>e
Поэтому функция f(x) = x^x^x^x^.... на промежетке (e^(1/e),\infty) равна бесконечности

А последовательность корней уравнений x = 3; x^x = 3; x^x^x = 3; .... (о которой вы писали выше) стремится к наибольшему определенному аргументу функции. Тоесть к e^(1/e), которое нивкоем случае не корень уравнения x^x^x^x^... = 3.

[iPhonograph]

а ещё интересную вещь пишут, что математике неизвестно, является ли число pi^pipipi целым или нет  ))  вроде бы получить ответ просто - нужно вычислить это число приближённо с точностью, например +-0.1 - думаю, будет достаточно

[Vladimir28]

x^x^x^x^x...=2
x=1.414                                   Это-НЕПРАВИЛЬНО
Я подставил и получилась бесконечность.
 Мне кажется, что ответ- 2*е/бесконечность
 

[☭-Изделие 20Д]

x^x^x^x^x...=2
x=1.414                                   Это-НЕПРАВИЛЬНО
Я подставил и получилась бесконечность.
 Мне кажется, что ответ- 2*е/бесконечность