Коллекция "Фибоначчи"

[Семён]

Создаю этот топик с целью узнать больше о последовательности Фибоначчи а так же делиться этими новостями с Вами.
С радостью приму ваши замечания или феномены или просто закономерности всплывающие при анализе последовательности Фибоначчи!
В качестве примера так же могут служить мини-задачки,"требующие"  дополнительных знаний об этой-на первый взгляд- простой последовательности.
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233.../

[General]

Ну, например, прямоугольник 5x13 можно разрезать так, чтобы составить квадрат 8x8


И для любой стоящей подряд тройки аналогичное выполняется

[square]

Площадь прямоугольника равна 65 квадратных клеточек, а площадь квадрата - только 64. Куда девалась одна квадратная клеточка? 

[General]

Вот и я о том же

[General]

Завод производит листы из двух металлов А и В. Готовые листы складываются в стопки. При этом нельзя класть на лист металла А ещё один лист из металла А.

Сколько существует различных допустимых стопок из 15 листов?

[General]

Сложно или очевидно?

[Семён]

очевидно сложно,но оригинально.

[Илья]

При А=0, число стопок (К)=1
При А=1, К=15
При А=2, К=91
При А=8, К=1
А вот при А=3,4,5,6,7.

[General]

А что если считать не так, а вычислить, сколько возможно стопок из 1, 2, 3 и т.д. листов и так до 15 добраться?

[Илья]

Не уж то 15-ый член "Фибоначчи".

[firemen]

Ну, например, прямоугольник 5x13 можно разрезать так, чтобы составить квадрат 8x8

нельзя составить правильный квадрат.. треугольники друг на друга найдут гипотенузами..

[hewo]

Если количество листов в стопке N то количество возможных стопок равно (N + 1 - A)! / (A!(N + 1 - 2A)!)

[General]

Не уж то 15-ый член "Фибоначчи".

Да-да, если считать с 1, 2, я ж её недаром сюда запостил

firemen, точно

А почему для любых трёх последовательных чисел Фибоначчи можно построить такое "почти точное" разбиение?

[General]

Т.е. если считать с 2, 3

[square]

Несколько задач о числах Фибоначчи из рукописи моей книги "Компьютер решает головоломки".

№ 1. Найти трёхзначное число Фибоначчи, записанное тремя последовательными цифрами.

№ 2. Среди трёх-, четырёх-, пяти- и шестизначных чисел Фибоначчи найти такие, две последние цифры которых одинаковы. Особенно красивое пятизначное число, записываемое так: XYYXX, то есть в этом числе три цифры, обозначенные X, одинаковые, и две цифры, обозначенные Y, тоже одинаковые.

№ 3. Некоторое шестизначное число Фибоначчи обладает следующим свойством: если его предпоследнюю цифру уменьшить на 3, то число, записанное первыми тремя цифрами полученного таким образом числа, будет в три раза меньше числа, записанного его последними тремя цифрами. Найдите это число Фибоначии.

№ 4. Найти среди чисел Фибоначчи в интервале (10, 999999) числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаково читаются слева направо и справа налево.

№ 5. Доказать, что каждое пятнадцатое число Фибоначчи делится на 10.

№ 6. Доказать, что для любого натурального n для чисел a(n) последовательности Фибоначчи выполняется равенство:

a(1)² + a(2)² + a(3)² + ... a(n-1)² + a(n)² = a(n)*a(n+1)

Напомню последовательность a(n) чисел Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...