Форум умных людей

Кубики, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся кубики от 1 до 10, и кубик 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся кубики от 11 до 20, и кубик 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся кубики от 21 до 30, и кубик 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько кубиков останется в ящике в полдень?

Условие непонятное. Сейчас 11.59 ?

Тут было решение, но оно неверное.
Идея была в том, чтобы выразить количество кубиков в ящике через продолжительность процедуры вложения и изъятия кубиков.
При стремлении этой продолжительности к нулю количество кубиков стремится к бесконечности.

Камнем преткновения стала неясность алгоритма действия вкидывающего.
Пусть процедура длится 1 сек. За 1/8 минуты (7.5 сек) до полудня вкидываются и изымаются кубики. До полудня будет 6.5 сек. За 1/9 минуты (6.7 сек) вкинуть кубики он уже не успевает, но время на вкидывание у него ещё есть. Что делать?

Да.
Класть и вынимать. :)

За 1/x минуты до полудня он кладёт/вынимает. За 1/(x+1) он не может. Он ждёт 1/(x+2) или кладёт/вынимает сразу?

Почему не сможет?
Для облегчения восприятия такого маленького промежутка времени можно предположить, что операции производятся мысленно.

А если промежуток настолько маленький, что времени не хватает даже на осознание наступления срока выполнения процедуры "класть/вынимать"?

В БСЭ пишут "время реакции человека в самых благоприятных случаях не менее 0,15 сек" = 1/400 минуты
В таком случае кубиков будет около 350.

С точки зрения физики не представляется период меньше, чем один период излучения, соответствующий переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного квантового состояния атома цезия-133 в покое при 0 К, что равно 1/9 192 631 770 секунды.
В таком случае кубиков будет немногим более 10 млн.

Если в задаче абсолютно пренебрегается таким понятием, как затрачиваемое время на процедуру, то полдень не наступит. Объяснение простое.
Ряд 1/n бесконечный. Количество итераций зависит только от соотношения оставшегося до полудня времени к времени процедуры. Поскольку время процедуры равно нулю, то итераций бесконечное количество. В таком случае кубиков будет бесконечное количество что аналогично тому, что полдень не наступит никогда.

Это абсурд.
Это понятно. Абстрагируемся от всего этого и ответим на вопрос сколько останется кубиков в ящике, когда наступит полдень?
Не, это не так. :)

Действие, не требующее времени, безразмерный ящик, бесконечное количество кубиков - это не абсурд?

Я прекрасно понимаю, что существует какое-то общепринятое решения для задачи, но у меня есть вот такое видение этой задачи.

Абсурд, но таковы условия задачи. :)

Может и нет. Возможно, это парадокс. :)

А общепринятое решение приблизительно такое:
Показать скрытый текст
Оно логичное, но я с ним не согласен.

В том-то и дело, что его не все приняли.
А доказать?

Доказать, что кубик Х будет изъят на Х-той операции? Это по условию задачи.

Доказать, что кубиков не останется после х-ой операции.
Ведь останется кубик с номером х+1

Кубик с номером Х+1 будет изъят на Х+1 операции.
Кубик (http://mathurl.com/oewpyc.png) будет изъят на (http://mathurl.com/oewpyc.png) операции. А поскольку числа больше, чем (http://mathurl.com/oewpyc.png) не существует, то кубиков не останется.

(http://mathurl.com/oewpyc.png) - не число

Мы можем кубики заменить числами и найти предел?
Тогда получается что после n-й итерации остается 9n кубиков
Можно построить формулу, определяющую кол-во кубиков в любой момент времени между 11:59:00 и 12:00:00 (не включая)
f(t) = [1/(1-t)]*9, 0<= t < 1
t - время в долях минуты
Например, что там накидают в 11:59:59
t = 59/60, f(t) = 540 (c 61 - го по 600-й)
В 11:59:59.990 имеем 54 000
В 11:59:59.991 имеем 59 994
и т.д.

Это очередной абсурд среди прочего абсурда в этой задаче. Так что ничего странного.

Эта задача абсурдна с точки зрения физики. Но не с точки зрения математики.

По моему скромному мнению, она абсурдна с точки зрения науки вообще.

Хотя решение мне нравится самому, хоть я и не согласен с ним.

С точки зрения математики верно решение, которое написал Рамирос. А ответ банален - бесконечное количество кубиков.

ИМХО, твое решение верное. Только нужно что-то сделать с "отнятием" у бесконечности звания числа.

Оно красивое, но я считаю его неверным. Посему отнимать я ничего не хочу.
Верным я считаю ответ - бесконечное количество.

Я думаю, что в любой определенный момент времени (включая полдень) в ящике будет определенное кол-во кубиков [1]. Процедура добавления 10 кубиков и вынимания 1 кубика будет производится бесконечное кол-во раз. Таким образом мы должны принять, что в полдень в ящике будет либо бесконечность кубиков (потому что мы бесконечное число раз добавляли 9 кубиков) [2], либо не будет ни одного кубика (потому что мы вынимали по одному кубику бесконечное число раз) [3]. Эти два противоположных друг другу варианта "порождают" еще один: полдень не наступит [4]. Время будет бесконечно приближаться к полудню, но никогда его не настигнет. Это напоминает апорию Зенона про Ахиллеса.
Собственно, утверждения [1] и [2] противоречат друг другу. Доказательство ложности апории Зенона про Ахиллеса я почти не понимаю, посему и не могу утверждать, что утверждение [4] ложно.

Ответ: Либо 0, либо полдень не наступит.

2 Um_Nik
В отличие от апории Зенона, где количество выполняемого действия уменьшается вместе с промежутком времени, в этой задаче с уменьшением промежутка времени количество действия не уменьшается, поэтому тот факт, что полдень не наступит, в этой задаче более правдоподобен.

Мне представляется такой себе диафильм с бесконечным кино. Вы делаете полоборота, прокручивается кадр, вы делаете 1/6 оборота - кадр, 1/12 - кадр, 1/20 - кадр и т.д ((http://mathurl.com/26ald36.png)). В пределе вы практически перестаёте крутить диафильм, а кино идёт нормальным ходом.
Как итог, кино будет идти бесконечно, а оборот вы так и не сделаете никогда. Как только оборот будет сделан, нарушится условие задачи, поскольку действие пойдёт быстрее, чем положено.

Ну да, я об этом тоже подумал)

При приближении к полудню число кубиков стремится к бесконечности. Но отсюда вовсе не следует, что в полдень их будет бесконечно много. В данном случае их останется 0. Здесь нет никакого противоречия.

Какое доказательство этого ответа?

Вы же сами себе противоречите. Теорию пределов никто не отменял. А то что мы имеем бесконечность минус бесконечность, так это не ноль, а всего лишь неопределенность, которая в данной конкретной задаче равна бесконечности

Умные дядьки во главе с самим Джоном Литлвудом, который кстати говоря данную задачку и сформулировал, говорят, что кубиков в полдень будет ноль.
Вот наиболее краткое обоснование, которое мне понравилось, хотя пока так до конца в голове и не уложилось:
Множество кубиков, которые останутся в ящике в полдень является подмножеством множества всех кубиков (пронумрованных натуральными числами). Но при этом для любого кубика верно, что до наступления полудня он успеет оказаться в ящике и быть вынутым. Иными словами для любого кубика верно, что он не будет содержаться в ящике в полдень.
Множество "полуденных" кубиков пусто.

Теория пределов ни при чем. В условии не сказано, что число кубиков — непрерывная функция или что-то в этом роде.
Кажущееся противоречие возникает именно из-за ложной аналогии с пределами.

На самом деле здесь в каком-то смысле действительно неопределенность ∞-∞. При разных алгоритмах добавления и забирания кубиков может остаться любое число кубиков, в том числе бесконечно много. Но при конкретном алгоритме, описанном в условии задачи, очевидно, остается 0, как уже дважды объяснялось.

Очевидно, что это не очевидно. Уж слишком много несогласных для очевидности.
Какое доказательство такого решения?

Назови номер хотя бы одного кубика, который останется в ящике.

Назови номер кубика, который будет изъят последним?
Или, что аналогично, назови последний номер операции?

Какой бы кубик ни вытащили последним, в ящике останется как минимум 9 кубиков с номерами большими, чем последний вытянутый. Вот это очевидно. А то, что невозможно назвать номера оставшихся кубиков, это не доказательство.

Вариант 2
Давай пойдём другим путём. Перед тем, как класть кубик в ящик, стираем ему номер, а достаём любой один кубик. Сколько кубиков останется в таком случае? Бесконечно? А что поменялось? Пропали всего лишь номера.

Вариант 3
Не верится? Давайте пойдём ещё по третему пути. Давайте будем вынимать не первый кубик из тех, что в ящике, а последний.
За одну минуту до полудня кладутся кубики от 1 до 10, и кубик 10 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся кубики от 11 до 20, и кубик 20 вынимается обратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся кубики от 21 до 30, и кубик 30 вынимается обратно.
И т.д.
Количество от этого меняется? Вроде не меняется: кладём 9, вынимаем 1. Но зато в таком случае я вам могу сказать точно какие именно кубики останутся (1,2,3 и т.д. кроме полных десятков).

Вариант 4
За одну минуту до полудня кладутся кубики от 1 до 10.
За 1/2 минуты до полудня кладутся кубики от 11 до 20.
За 1/3 минуты до полудня кладутся кубики от 21 до 30.
И т.д.
Как только в ящике появляется кубик Х, из него изымается кубик Х/10.
Сколько осталось в ящике к полудню?
Кубик с номером Х будет изъят на Х-той операции, но по условию в ящике должен остаться кубик 10Х, как и в исходной задаче.

Возникает внезапный вопрос.
Раз кубики пронумерованы, значит их конечное количество. Раз кубиков конечное количество, значит в определённый момент за 1/Х минут до полудня класть в ящик будет нечего и кубики будут только изыматься. В таком случае становится абсолютно очевидно, что их будет ноль.

:o Кто тебе такое сказал??

Как можно занумеровать бесконечное количество кубиков?

Соотнести с бесконечным числом натуральных чисел.

Не соотнести, а пронумеровать. Скажем, маркером.

Да легко.
Скажем, за 2 минуты до полудня пронумеруем кубики от 1 до 10. За 1 минуту до полудня - от 11 до 20. За 1/2 минуты - от 21 до 30 и т.д.

Ну вообще-то меня интересует не чья-то трактовка условия, а авторская трактовка. Число кубиков конечное или нет?

Похоже на задачу: Каких чисел больше. Четных или натуральных? Или вот еще, в какой фигуре больше точек в квадрате или в окружности вписанной в квадрат? :)

Кубики пронумерованы, число их конечно.
Не похоже.

Ну что ж, тогда мы вынуждены признать, что полдень не наступит. Если верить условию, конечно.

Окей. Да здравствует день сурка. (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%BD%D1%8C_%D1%81%D1%83%D1%80%D0%BA%D0%B0_%28%D1%84%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%BC%29) :)

День сурка тут не при чем.
Вы говорите, что есть всего n кубиков. Тогда за 10/n минуты до полудня время остановится.

Почему не причем?
Там так же не наступает следующий день, как у нас полдень. :)
Материя исчезнет?

Илья, вы можете сформулировать опровержение к данному утверждению (если принять, что остановка времени возможна, а условие задачи абсолютно верно и не подлежит оспариванию)?

Что будет в момент, когда кубики закончатся? Их будут только вынимать? Либо вообще ничего делаться не будет до полудня?

Наверное, не могу, потому и сказал сразу же: окей.

Народ, а кто нить слышал о задаче про ахиллеса и черепаху? это же та же самая история - полдень наступит, так как сумма бесконечного ряда 1/n конечна. А вот про количество оставшихся кубиков надо еще подумать

Если почитать тему (здесь всего-то 4 странички), то это уже обсуждалось.
Апории Зенона не аналогичны этой задаче.

Сумма ряда 1/n бесконечна. Вы что-то путаете.

Тимон, зачем загрузил молодого человека?! :)

Я не хотел, простите )))

тормознул слегка

Че то не понимаю я - Но при этом для любого кубика верно, что до наступления полудня он успеет оказаться в ящике и быть вынутым - почему это верно для любого кубика?
 :yes:

Меня больше всего интересует, что произойдёт в тот момент, когда конечное число кубиков закончится.

Конец света. Рождение Ктулху.

Вынужден признать, что Литлвуд был великим провокатором. Провоцировал холивар, который до сих пор не разрешён.

а мне кажется нет, в яшике останутся кубики и их количество будет 9n

Потому что число их конечно.
1/∞=0

И что?
Вам доказательство привести?

Приводи.

1/2=1/2
1/3+1/4>1/4+1/4
1/5+1/6+1/7+1/8>1/8*4
1/9+1/10+1/11+1/12+1/13+1/14+1/15+1/16>1/16*8
Каждое число в правом столбике - 1/2. Сумма бесконечного числа 1/2 - бесконечность. А сумма левого столбика еще больше.

А зачем ты суммируешь?
В исходной задачи этого не требуется.
У нас  n стремится или равняется бесконечности и при определенном n (бесконечно большом) 1/n будет равняться нулю, то есть наступит полдень.

ОК, тогда рассмотрим такую задачу: Между Ахиллесом и черепахой 1 км. Пока Ахиллес бежит этот 1 км, черепаха проходит 1/2 км. Пока Ахиллес бежит эти пол-километра, черпаха проходит еще 1/3 км и т.д.
Вопрос: Догонит ли Ахиллес черепаху? Если да, то через какое время? (Можно считать, что на каждый отрезок пути у Ахиллеса уходит по 1 часу)

У меня уточнение? Когда Ахиллес будет считаться доганавшим черепаху? Когда коснется?

Ахиллес и черепах считаются материальными точками. Т.е. Ахиллес считается догнавшим черепаху, если расстояние между ними равно 0.

У меня уточнение к условию задачи.  Когда до полудня остается 1/1000000000000000000 минуты - он еще не наступил?

Полдень наступил, когда до него осталось 0 минут, ИМХО.

Умник
Ты чего-то попутал. В задаче с Ахиллесом действительно надо суммировать 1/n, но в задаче с кубиками нет. Там другая сумма.

"На сегодняшний день самый маленький экспериментально наблюдаемый промежуток времени составляет порядка аттосекунды (10⁻¹⁸ с), что соответствует 10²⁶ планковским временам. По аналогии с планковской длиной, интервал времени меньший планковского времени невозможно измерить." Источник - вики.
Получается, что наступит.
Мне кажется, что правильнее считать, что Ахиллес догнал черепаху, когда он достиг планковской длины между собой и черепахой, которая равна 1,61*10^-35. Дальше ты просто не сможешь поделить расстояние, во всяком случае на сегодняшний день - это является минимальным расстоянием, которое в принципе возможно определить и то в теории.

Я знаю. У нас немножко разговор сместился в другую сторону.

Мы решаем не физическую, а чисто математико-логическую задачу, так что это все - абстракция.
Давно вы последний раз наблюдали бесконечный ящик?

Совсем недавно, в фильме, правда там была бесконечная сумочка.

В такой интерпретации не догонит. И полдень тоже не наступит. Это моё личное мнение.

Магия Гермионы не считается. :)

Согласен.

Наступит, догонит, потому что нет ничего бесконечного.
Бесконечность всегда потенциальна, но она не действительна.

Каждую секунду Дункан Маклауд отрезает от бесконечной прямой отрезок в 1 см. Сколько времени ему необходимо чтобы порезать всю прямую на отрезки?

T-Mon, пока не надо придумывать все новые и новые задачи на заданную тему, со старыми еще не разобрались.
Вот Вы, например, утверждаете, что не догонит Ахилл черепаху, а не кажется ли Вам тогда, что с какого-то определенного деления киломметра он или пусть будет точка не должен будет двигаться, чтобы соответствовать условиям, заданные Умником, а потом вообще двигаться в обратую сторону?
Окей. Тогда скажите мне, как будет двигаться Ахилл, когда скажем расстояние между ним и черепахой будет 10^-35м? Будет ли он двигаться вообще? Цифрами можно играться, бесконечно деля единицу на все большее и большее число ( и то до небесконечности, а пока не устанете). Но вот Вы, например, можете представить расстояние менее 10^-35м не прибегая к цифрам. На что оно похоже? Возможно ли на этом расстоянии какое-либо движение?

Разумеется.
Оно похоже на метр, только в 10^35 раз меньше.
Возможно.

Нет, вот именно мысленно представить. В этот же промежуток ничего из известного нам не влезит.
Окей. Допустим у нас сфера диаметром 10^-35 м, что в ней может находится из существующего? Атом?-нет Электрон?-тоже нет. Что еще? Там вообще есть материя?
Каким образом?

Механическое движение — непрерывное изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.
Как изменится положение точки относительно другой точки, когда ей надо будет пройти расстояние 1*10^-36 м, тем более за целый час?

Окей. Предположим, я не могу представить такое расстояние.
Вы можете представить человека, который успеет переложить 11 кубиков за 1/100010000 минуты?

А где в задаче сказано, что кубики перекладывает человек? :)
К тому же полдень в это время уже наступит, а ящик будет пуст. :P

Это не имеет значения.
Вот не надо, этот промежуток времени гораздо больше аттосекунды.

Имеет. Мысленно я может и смогу представить такую скорость перемещения кубиков, только не вплетая туда человека.
Если ты обычный человек без всяких спец. приборов измерения, тогда уже наступил. А так да - еще можно подождать аттосекунду.
Согласен - такую задачу довольно сложно осознать и представить, даже абстрактно.
А с Ахиллом и черепахой, я считаю, что с какого-то определенного момента согласно заданным условиям, движение будет невозможно - это и будет считаться временем, когда Ахил догонит черепаху.

Тогда в ящике к полудню будет около 9.000.000.000 кубиков.

Если существует какой-то такой определённый момент, значит ряд натуральных чисел конечен.
Илья, ты вообще меня удивляешь. Ставишь условия, несовместимые с реальностью, а потом ищешь решение, основываясь на понятиях физики.

А что, кто-то доказал обратное?
Может и конечен, только вот пространство нельзя делить до бесконечности, ИМХО.
На самом деле математики и с самим понятием бесконечности еще толком не разобрались. Понятие-то вели, а вот осмыслить не осмыслили.
Да это не я. Я только скопипастил бессмысленную задачу похоже.

Я согласен с Ильей и необходимостью Планковских величин.

Дело даже не в том, что мы можем представить, а в том что мы-то с вами понимаем (надеюсь), что полдень наступит - теперь нам нужно это теоретически обосновать.

с математической точки зрения (не с философской и не физической)
пуст'  f(n) - функция "число кубиков на n-ой итерации"
тогда    f(n) = 9*n
когда время подходит к 12:00 "n" стремится к бесконечности.
Имеем придел:  lim(f(n)), n->бесконечности

lim( 9*n ) = бесконечности, где n->бесконечности

Ответ: В полден' имеем бесконечно кубиков

Течение времени ест' величина независимая от наших операций с шариками.

Тут дело не в том, что мы привыкли, что полдень каждый день наступает. Тут есть свои условия. А по ним полдень не наступит никогда.

В условии не дается вообще определение полудня, но мы же как-то понимаем, о чем речь. И то, что он не наступит - неверно, пока не доказано обратное. ИМХО, разумеется.


Вот-вот!!! А теперь нам нужно "привязать" течение времени к нашим операциям с шариками! Не только в одном направлении, но и в другом! Т.е. пока мы шарики кладем, время проходит.


Поймите правильно. Я НЕ говорю о НАШЕЙ реальности. Не нужно учитывать, как быстро кто-то может шарики класть. Нужно принять за основу какие-либо микровеличины, так что в определенный момент полдень все-таки наступит, а шарики не успеют заскочить в ящик.
Т.е. ситуация станет конечной.

ЗЫ: С математическим решением, безусловно, согласен.

Тут уже пошёл копипаст с другого форума, раз шарики появились.

Если в какой-то момент времени будет невозможно положить 10 кубиков и вынуть 1, как утверждают Вилли и Лев, то условие задачи нарушается и решать её дальше бессмысленно, поскольку решение задачи не должно нарушать его условия.

Кстати тут мне пришёл в голову аргумент, который, конечно же, ясности не вносит, но как аргумент сойдёт.
Есть апелляции типа "можно представить бесконечный ящик", "видел в фильме бесконечную сумочку", "можно представить мгновенное перекладывание" и т.п.
Так вот: я могу представить и даже видел в фильмах, как время останавливается. Это представить не сложнее, чем бесконечный ящик и мгновенное действие.

Ну я такого не утверждал. Для меня как раз все абстрактно.
Задача находится в разделе "Математические задачи" и решение чисто математическое, не думая о том какой ето яшик и из какого материала он зделан.

Если уж начинат' прикапыват'ся, то при бесконечном кол-ве кубиков получим и бесконечно бол'шую массу. А известно, что рядом с бол'шой массой и время течет медленнее. Как следствие чем ближе мы к полудню, том ближе масса к бесконечности, тем медленнее течет время. В итоге полуден' для яшика (возле него) не наступит никогда.
Ето если с физической точки зрения

Мне кажется, это и есть общее решение (не только физическое). Количество кубиков стремится к бесконечности и, как следствие, полдень не наступит.

Манипуляции с множествами не убедили.

С точки зрения математики полдня у нас не будет :) Всегда будет оставаться одна-микроскопическая до него. И вообще полдень - это реальный объект, а задача жанра фэнтези и они не пересекаются ни в каких мирах.
А то что великие ученые доказали (сами себе), что все кубики будут когда-то выняты - это новое направление в той самой софистике. Оно из разряда доказательств, что гипотенуза треугольника равна сумме катетов, потому что если гипотенузу представить как ломанную из множества мелких перпендикулярных отрезков (в сумме равных катетам), а потом бесконечно уменьшать то получим прямую.
И вообще рассуждения о бесконечности доводили людей до психбольницы :(

Даже примеры есть? :o

 :-X они просили имен не называть

Задача либо чисто математическая - тогда решение я приводил.
Либо НЕ математическая (филосовская, физическая, биологич.... и т.п.) тогда решения НЕТ.
Что дал'ше обсждат'?

Понятие бесконечности до бесконечности. :nyam:

Давайте обсудим доказательства
- гипотенуза равна сумме катетов
- пи = 4
Можно в другой теме.
:)

Та чего там в другой, в этой оно будет органично смотреться среди кубиков и шариков  ;D

Это не доказательства, это софизмы.

Ну давайте обсудим софизмы )))

Количество кубиков изначально бесконечно, оно вообще не меняется, мы их просто перекладываем туда-сюда)))

Я имею ввиду в ящике будет...