Форум умных людей

Как-то раз гостил Петя у Васи на его даче. Вечером залез он в свой автомобиль и поехал в сторону шоссе. Через некоторое время Вася обнаружил, что Петя забыл свой мобильник. Вскочил он на велосипед и помчался к шоссе, чтобы перехватить Петю. Расстояние от Васиной дачи до точки шоссе, в которой находится автомобиль, равно d, расстояние от дачи до шоссе равно h, скорость автомобиля равна v. С какой минимальной скоростью должен ехать Вася, чтобы осуществить свое намерение?

а-ааа...вопрос минимальной...сорри

Насколько я понял, задуманное вообще не осуществится, т.к., садясь на велосипед, Вася тоже забыл взять с собой мобильник Пети  :haha2:

А даже если и забыл, все равно Васе стоит Петю догнать, шоб он за ним вернулся.

а есть решение без производных, чисто геометрическое?

В авторском решении производных нету.

а где он его должен догнать? вообще где- то?:)
разве он его где- то не догонит, если скорость будет больше d?

Та где угодно, в любой точке шоссе.
Как это скорость может быть больше d? Это ж расстояние!

v я имел в виду..

Оно конечно так. Но эта скорость не минимальная. Да и выжать из велосипеда скорость больше, чем у автомобиля вряд ли Вася сможет.

Чего- то я не понял. А как может Вася на велосипеде догнать Петю, если у Васи скорость будет меньше чем у Пети?

Так Вася не за Петей гонится, а стремится приехать к некоторой точке шоссе не позже, чем в ней окажется Петя.

Fortpost, если можно, расшифруй, пожалуйста, условие:
- Вася едет не по дороге, ведущей от его дома к шоссе, а какими-то своими тропами (по бездорожью)?
- Дорога от дома Васи перпендикулярна шоссе или расположена к нему под каким-либо углом?
- Шоссе – это прямая дорога или может быть какая-то кривая, т.е. не образует ли шоссе, допустим, дугу, к которой примыкает дорога от Васиного дома?
- в расчет принимается разумность того, что велосипед определенно едет медленнее автомобиля?
Или же все эту нужно определить самому, подобрав соответствующий геометрический набор местности, лишь бы решалась задача с заданными условиями?
Какой модели мобильник - стоит ли из-за него вообще поднимать такой кипишь?

Да, по бездорожью.

Расположена под углом.

Шоссе - прямое.

Да, принимается.

Vertu - поэтому он дорог Пете как память.

У тебя, наверное, дома всегда порядок?!

А если Петя на своем Maybach поехал в сторону от виллы Васи?

Ага! :laugh:

В этом случае он свой мобильник не скоро увидит. Потому считаем, что он едет в нужную сторону.

Я так понял. Вася едет перпендикулярно шоссе? Если так, тогда d-гипотенуза h-катет. Итого Петя проедет (d²-h²)^0,5 со скоростью v. А Вася должен за это время проехать h со скоростью w.
Тогда w=vh/(d²-h²)^0,5

Нет, Вася не обязан ехать перпендикулярно шоссе.

Но треугольник эти линии образуют?

Да, образуют.

Тогда возможны варианты...
(http://s018.radikal.ru/i518/1309/bd/0d1ff87e329b.png)
Я правильно все понимаю?

Да, Крипто, ты все правильно понял. Толькл цвета h и d перепутаны.

да с цветами промашка вышла)
Ну тогда может нужно рассматривать первый вариант с учетом того что гипотенуза красным цветом должна быть под углом 45^о.
Тогда ответ w=(v(2h²)^0.5)/((d²-h²)^0.5+h)

Не, не оно.

Cкорость должна быть минимальной. Поэтому угол гипотенузы должен быть минимальным. Не знаю..какие- то полградуса например:)
160 -90 - 0,5 = 69,5 например...

RD, не все так просто.. я тоже сначала так думал.
Но потом понял что это не так. С гипотенузой тоже промашка есть еще зависимость на сколько h меньше  за d. Ну формула посложнее будет.
Ща вот думаю)

Мысли такие:
Для того, чтобы у Васи скорость была минимальной, Петя должен максимально далеко находиться от прямой от дачи к шоссе. То есть, гипотенуза должна быть максимальной. Перехватить Вася на велосипеде Петю может только в том случае, если Петя будет двигаться в ту сторону, куда и устремлен Вася. Вася, при этом, для перехвата должен ехать в точку, равную предыдущей гипотенузе. На 1. рисунке Крипто они обозначены зеленым и красным.
Угол образованный гипотенузой и линией шоссе, при этом, минимальный.
Другой катет( расстояние, которое предстоит проехать Пете до пересечения с прямым углом, образованным h = корень (d^2 - h^2)
Проехать он должен 2*корень (d^2 - h^2) , тогда как Вася проедет растояние, равное гипотенузе d
Отсюда равенство:
2*(d^2 - h^2)/v = d/x
x = dv/2*корень (d^2 - h^2) - минимальная скорость

Мысли такие:
Для того, чтобы у Васи скорость была минимальной, Петя должен максимально далеко находиться от прямой от дачи к шоссе. То есть, гипотенуза должна быть максимальной. Перехватить Вася на велосипеде Петю может только в том случае, если Петя будет двигаться в ту сторону, куда и устремлен Вася. Вася, при этом, для перехвата должен ехать в точку, равную предыдущей гипотенузе. На 1. рисунке Крипто они обозначены зеленым и красным.
Угол образованный гипотенузой и линией шоссе, при этом, минимальный.
Другой катет( расстояние, которое предстоит проехать Пете до пересечения с прямым углом, образованным h = корень (d^2 - h^2)
Проехать он должен 2*корень (d^2 - h^2) , тогда как Вася проедет растояние, равное гипотенузе d
Отсюда равенство:
2*корень (d^2 - h^2)/v = d/x
x = dv/2*корень (d^2 - h^2) - минимальная скорость

Не так, Fortpost? :)

Вроде как в авторском решении маленько иначе. Надо еще уточнить.

Я конечно не Fortpost. Но, не то.

У меня вообще получается, в зависимости от того в каком соотношении h и d - нужно использовать w=vh/(d²-h²)^0,5 или w=v(2h²)^0.5/((d²-h²)^0.5+h) или твоя формула, я как раз до нее дошел w=vd/(2(d²-h²)^0.5).
Короче по ситуации... может еще чего не учитываю и есть универсальна формула...

Конечная формула очень простая.

вообще- то, угол, образованный расстоянием d и линией шоссе может быть любым, а вот ловить Петю лучше уж так, чтобы он проехал большее растояние. То есть Вася должен проехать на велосипеде максимальное расстояние от дачи до точки на шоссе. То есть, угол образованной гипотенузы должен быть минимальным...пусть там 0,1 градус.
Получается формула (не очень простая) :))))
h/sin 0,1 *v/ корень(h/sin 0,1^2 - h^2) + корень(d^2 - h ^2)

Нет. Не то! Скорость то Пети больше Васи. Гипотенуза(красная) не может быть больше 45^о по отношению к h... так что, до бесконечности не подходит.

Решил как?

так надо ж решить без производных
там должно получиться, что угол между зелёной и красной всегда 90°
есть ли простое геометрическое решение?

Где такое условие? Задачу же опубликовал не Питер Пен. Значит можно тупо в лоб.

zhekas - гениально!!! :beer:
Но задачу и правда без производных можно решить.

Когда я выкладывал задачу про дачников, то думал дополнительно включить в ее условие еще и вариант с пересечением дорог под углом, попросив при этом также решить ее без применения производной, но, на самом деле, Fortpost  дал не менее интересную задачу.
Некоторым задачам такого типа для их решения без применение производной дают следующую условную постановку: два корабля движутся в открытом море пересекающимися курсами... И вот для чего так делается: в этом случае нет никаких видимых неподвижных объектов, к которым можно "привязать" систему координат.
Поэтому в данной задаче "капитан" Maybach, т.е. Петя, может перейти в систему отсчета, связанную с "кораблем" Васи, приняв его навороченный для бездорожья велосипед за неподвижный объект. Далее используется пространственное воображение. В этой системе "корабль" Пети движется относительно "корабля" Васи со скоростью (по вектору) V(отн.)=V(Пети)-V(Васи) в доль прямой, по которой направлен вектор V(отн.). В этом случае наименьшая V(Васи) - это перпендикуляр, опущенный из точки "неподвижного корабля" Васи к прямой, вдоль которой осуществляется относительное движение.
Вот поэтому ничего удивительного в простом ответе Zekasa нет - V(Васи), решая задачу таким образом, сразу же очевидна - она должна быть в d/h раз меньше V(Пети).

Fortpost, авторское решение, по-моему, имеет и еще один вариант решения этой задачи без применения производной?

Ага, не было там производной. Позжее будет оное продемонстрировано.

Да производной не надо. Надо просто докумекать что угол между d и  курсом Васи равен 90^о.
А дальше все по рисунку выводится:
(http://canegor.urc.ac.ru/B/images/treug_p_1.gif)
например так:
W=(v(h²+(h²/(d²-h²)^0.5)²)^0.5)/((h²/(d²-h²)^0.5)+(d²-h²)^0.5)=vh/d
Возможны вариации в громоздкой формуле но итог один.

Fortpost, что ж это ты опять - какое же это другое решение?

Да где ж говорилось-то про другое? У Жекаса с производной, у Крипто без оной, но идея-то одна. А авторское  - для сравнения, но суть его та же.

Ты про корабли читал?! Это ж и есть твое авторское решение (просто антуражно его расписал)! А спрашивал я тебе еще об одном.

А как же! Только не дошло с первого разу. >:( (Работа уж очень отвлекает). Но почему ж оно мое? А другое - это которое в первоисточнике написано.

Если можно, скинь мне, пожалуйста, условие задачи в оригинале, а то слишком, уж, много было к нему уточнений  :)
А про корабли - это распространенный ученический способ решения таких задач без производной и уравнений.

ОК! Только попозже.

Пасиб  ;)

Готово, послал!

Ну в общий доступ выложи пожалуйста!
Мы шо не люди?

Все для людей!
Показать скрытый текст

(http://i019.radikal.ru/1309/b5/491c8a3cc4b8.jpg)