Форум умных людей

7?

Решение.  Ответ, очевидно,  не меняется, если превращать треугольник периметра 1 в треугольник периметра 21.
Для рассуждений нам понадобятся числа Фибоначчи f₁=1, f₂=1, f₃=2, f₄=3, f₅=5, f₆=8, f₇=13, f₈=21, f₉=34, f₁₀=55, ... (вообще, f_i=f_i–1+f_i–2 при i>2).

Лемма 1. Пусть длины сторон треугольника соответственно меньше трех последовательных чисел Фибоначчи, умноженных на один и тот же коэффициент k: kf_i, kf_i+1, kf_i+2. Проделаем с этим треугольником одну операцию. Тогда длины сторон полученного треугольника, взятые в порядке возрастания, будут соответственно меньше чисел kf_i+1, kf_i+2, kf_i+3.

Докажем лемму 1. Сумма двух сохранившихся сторон меньше kf_i+1+kf_i+2, тем более новая сторона по неравенству треугольника должна быть меньше kf_i+1+kf_i+2= kf_i+3.

Лемма 2. Проделаем с треугольником периметра 1 две операции. Тогда стороны полученного треугольника соответственно меньше 1/2, 1, 3/2.

Докажем лемму 2. Пусть стороны были a≤b≤c, a+b+c=1. Поскольку a+b>c, то c<1/2. После двух операций стороны, очевидно, не превосходят соответственно c, b+c, b+2c. Далее используем, что b≤c<1/2.

Следствие. За n операций из треугольника периметра 1 получается треугольник периметра меньше f_n+2.

Доказательство следствия. При n=1 периметр меньше 2(b+c)<2=f₃.  При n≥2 после двух операций стороны меньше 1/2f₂, 1/2f₃, 1/2f₄, значит, после еще n–2 операций меньше 1/2f_n, 1/2f_n+1, 1/2f_n+2, и периметр меньше 1/2(f_n+f_n+1+f_n+2)= 1/2(f_n+2+f_n+2)= f_n+2.

Вернемся к задаче. В нашем случае следствие сразу дает нужную оценку: поскольку f₈=21, то за 6 операций нам такого периметра не достичь. А 7 операций достаточно: мы начинаем с треугольника  со сторонами 0+3e; 1/2–2e, 1/2–e, где e=0,001  (нам удобнее писать длины в виде сумм и разностей). Пусть после i-й операции стороны будут равны последовательным членам g_i, g_i+1, g_i+2  вот такого ряда:
1/2–e, 1/2–2e, 2/2–4e, 3/2–8e, 5/2–16e, 8/2–32e, 13/2–64e, 21/2–128e, 8/2+64e+128e (неравенства треугольника выполнены, поскольку очередная половинка числа Фибоначчи уменьшается на величину, которая превосходит сумму уменьшений двух предыдущих сторон).

Замечание. Общая задача превращения треугольника периметра P в треугольник периметра Q (где Q<P), равносильна задаче о превращении треугольника периметра 1 в треугольник периметра P/Q. Ответ: n операций, где f_n+1≤P/Q<f_n+2. Оценка следует из следствия, а пример строится так: выберем положительное e<f_n/2ⁿ⁺³, и положим g_i=f_i/2–2ⁱe (i=1,2,…, n+1), g_n+2=P/Q–g_n–g_n+1.