А вот тут подробное решение. Персонально для Семёныча.
Показать скрытый текст
Решение. Ответ, очевидно, не меняется, если превращать треугольник периметра 1 в треугольник периметра 21.
Для рассуждений нам понадобятся числа Фибоначчи f1=1, f2=1, f3=2, f4=3, f5=5, f6=8, f7=13, f8=21, f9=34, f10=55, ... (вообще, fi=fi–1+fi–2 при i>2).
Лемма 1. Пусть длины сторон треугольника соответственно меньше трех последовательных чисел Фибоначчи, умноженных на один и тот же коэффициент k: kfi, kfi+1, kfi+2. Проделаем с этим треугольником одну операцию. Тогда длины сторон полученного треугольника, взятые в порядке возрастания, будут соответственно меньше чисел kfi+1, kfi+2, kfi+3.
Докажем лемму 1. Сумма двух сохранившихся сторон меньше kfi+1+kfi+2, тем более новая сторона по неравенству треугольника должна быть меньше kfi+1+kfi+2= kfi+3.
Лемма 2. Проделаем с треугольником периметра 1 две операции. Тогда стороны полученного треугольника соответственно меньше 1/2, 1, 3/2.
Докажем лемму 2. Пусть стороны были a≤b≤c, a+b+c=1. Поскольку a+b>c, то c<1/2. После двух операций стороны, очевидно, не превосходят соответственно c, b+c, b+2c. Далее используем, что b≤c<1/2.
Следствие. За n операций из треугольника периметра 1 получается треугольник периметра меньше fn+2.
Доказательство следствия. При n=1 периметр меньше 2(b+c)<2=f3. При n≥2 после двух операций стороны меньше 1/2f2, 1/2f3, 1/2f4, значит, после еще n–2 операций меньше 1/2fn, 1/2fn+1, 1/2fn+2, и периметр меньше 1/2(fn+fn+1+fn+2)= 1/2(fn+2+fn+2)= fn+2.
Вернемся к задаче. В нашем случае следствие сразу дает нужную оценку: поскольку f8=21, то за 6 операций нам такого периметра не достичь. А 7 операций достаточно: мы начинаем с треугольника со сторонами 0+3e; 1/2–2e, 1/2–e, где e=0,001 (нам удобнее писать длины в виде сумм и разностей). Пусть после i-й операции стороны будут равны последовательным членам gi, gi+1, gi+2 вот такого ряда:
1/2–e, 1/2–2e, 2/2–4e, 3/2–8e, 5/2–16e, 8/2–32e, 13/2–64e, 21/2–128e, 8/2+64e+128e (неравенства треугольника выполнены, поскольку очередная половинка числа Фибоначчи уменьшается на величину, которая превосходит сумму уменьшений двух предыдущих сторон).
Замечание. Общая задача превращения треугольника периметра P в треугольник периметра Q (где Q<P), равносильна задаче о превращении треугольника периметра 1 в треугольник периметра P/Q. Ответ: n операций, где fn+1≤P/Q<fn+2. Оценка следует из следствия, а пример строится так: выберем положительное e<fn/2n+3, и положим gi=fi/2–2ie (i=1,2,…, n+1), gn+2=P/Q–gn–gn+1.