А вот тут подробное решение. Персонально для Семёныча.
Решение. Ответ, очевидно, не меняется, если превращать треугольник периметра 1 в треугольник периметра 21.
Для рассуждений нам понадобятся числа Фибоначчи f
1=1, f
2=1, f
3=2, f
4=3, f
5=5, f
6=8, f
7=13, f
8=21, f
9=34, f
10=55, ... (вообще, f
i=f
i–1+f
i–2 при i>2).
Лемма 1. Пусть длины сторон треугольника соответственно меньше трех последовательных чисел Фибоначчи, умноженных на один и тот же коэффициент k: kf
i, kf
i+1, kf
i+2. Проделаем с этим треугольником одну операцию. Тогда длины сторон полученного треугольника, взятые в порядке возрастания, будут соответственно меньше чисел kf
i+1, kf
i+2, kf
i+3.
Докажем лемму 1. Сумма двух сохранившихся сторон меньше kf
i+1+kf
i+2, тем более новая сторона по неравенству треугольника должна быть меньше kf
i+1+kf
i+2= kf
i+3.
Лемма 2. Проделаем с треугольником периметра 1 две операции. Тогда стороны полученного треугольника соответственно меньше
1/2, 1,
3/2.
Докажем лемму 2. Пусть стороны были a≤b≤c, a+b+c=1. Поскольку a+b>c, то c<
1/2. После двух операций стороны, очевидно, не превосходят соответственно c, b+c, b+2c. Далее используем, что b≤c<
1/2.
Следствие. За n операций из треугольника периметра 1 получается треугольник периметра меньше f
n+2.
Доказательство следствия. При n=1 периметр меньше 2(b+c)<2=f
3. При n≥2 после двух операций стороны меньше
1/2f
2,
1/2f
3,
1/2f
4, значит, после еще n–2 операций меньше
1/2f
n,
1/2f
n+1,
1/2f
n+2, и периметр меньше
1/2(f
n+f
n+1+f
n+2)=
1/2(f
n+2+f
n+2)= f
n+2.
Вернемся к задаче. В нашем случае следствие сразу дает нужную оценку: поскольку f
8=21, то за 6 операций нам такого периметра не достичь. А 7 операций достаточно: мы начинаем с треугольника со сторонами 0+3e;
1/2–2e,
1/2–e, где e=0,001 (нам удобнее писать длины в виде сумм и разностей). Пусть после i-й операции стороны будут равны последовательным членам g
i, g
i+1, g
i+2 вот такого ряда:
1/2–e,
1/2–2e,
2/2–4e,
3/2–8e,
5/2–16e,
8/2–32e,
13/2–64e,
21/2–128e,
8/2+64e+128e (неравенства треугольника выполнены, поскольку очередная половинка числа Фибоначчи уменьшается на величину, которая превосходит сумму уменьшений двух предыдущих сторон).
Замечание. Общая задача превращения треугольника периметра P в треугольник периметра Q (где Q<P), равносильна задаче о превращении треугольника периметра 1 в треугольник периметра P/Q. Ответ: n операций, где f
n+1≤P/Q<f
n+2. Оценка следует из следствия, а пример строится так: выберем положительное e<f
n/2
n+3, и положим g
i=f
i/2–2
ie (i=1,2,…, n+1), g
n+2=P/Q–g
n–g
n+1.
