Логические задачи
      NazVa.net

Лейбл без текста, например.

По ходу дела такой процесс будет продолжаться бесконечно - если начать то же рассуждение применять к вновь задействованным свободным точкам, то придется задействовать все новые и новые точки, процесс зациклится, значит точек не хватит.
Позже накатаю формально.

Да, лажа, увидел.

Почему K? K со "свободными" и одна с иксплюсвторой, K+1 всего.

VVV, это перечисление осмысленных терминов, которые могут подразумеваться под бессмысленными словами "длина", "размер" и так далее.

w^-1 будет меньше любого положительного стандартного числа вообще)
Вообще суть нестандартного анализа - в "отмене" аксиомы архимеда, то есть на какое бы большое стандартное число вы не умножали - результат все равно будет меньше любого стандартного числа.

Если я не ошибаюсь, то при добавлении неархимедовых чисел группа остается группой, поле - полем и так далее.

А, ну теперь доказать совсем просто)
Пусть максимальное количество знакомств в схеме, удовлетворяющей задаче, K<N-1. Предположим тогда, что х₁ - самый социальный человек в мире и имеет K знакомых (х₂ ... х_K+1). Будем сначала искать общих знакомых для пар (х₁, х_p), p<=K+1. Так как х₁ имеет максимально допустимое количество знакомых, то общий знакомый такой пары может быть только среди х₂...х_K+1. Выполняем построение аналогично тому, что в доказательстве выше. Заодно получаем, что K в любом случае четно.
Имеем: K+1 точки, попарно имеющих общих знакомых и N-K-1 точки, пока свободно висящих. Заметим, что ни одна из "свободных точек" не может иметь более одного знакомого из первых K+1 -  иначе какие-то две "несвободных" будут иметь в качестве общего знакомого первую точку и свободную, что противоречит условию.
Рассмотрим х_K+2. Эта точка должна иметь знакомого из "свободных", чтобы иметь общего знакомого с х₁. Пусть это будет х₂. Выберем общего знакомого для х_K+2 и х₂. Это не может быть точка из первых K+1 (т.к. ни одна из "свободных точек" не может иметь более одного знакомого из первых K+1), значит это некоторая "свободная" точка х_K+3. Аналогично общим знакомым х_K+2 и х₄ будет х_K+4 и так далее. Перебирая таким образом все точки до х_K+1, получим два варианта развития событий:
1) Свободных точек не хватит -> Такое построение невозможно
2) Точек хватит, тогда х_K+2 будет иметь K знакомств со свободными точками, взятыми в качестве общих знакомых с х₂...х_K+1 и знакомство с точкой х₂, то есть всего K+1 знакомство, что противоречит исходному предположению о том, что K - максимальное число знакомств на душу населения.

В итоге получаем, что для нечетных N предположение верно, для четных же невозможна такая ситуация вообще.

Попробуйте нарисовать - не получится)

Смотрите, то же рассуждение в частном виде для четырех:
Пусть х₁ знаком со всеми остальными. Тогда у каждых двух из х₂, х₃, х₄ общий знакомый есть - х₁. Выберем общего знакомого для х₁ и х₂ - пусть это будет х₃. Тогда у х₁ и х₃ общий знакомый уже есть - это х₂. Единственная оставшаяся пара без общих знакомых - х₄ и х₁. Если "познакомить" х₄ с х₃ или х₂ - возникнет лишний "общий знакомый", с х₁ он уже знаком, значит никакими силами четыре точки предположению задачи не удовлетворяют.

Для четных неверно.

Пусть есть точка(х₁), соединенная со всеми прочими(x₂....x_(n-1)). Все пары (x_k,x_p), k,p!=1 будут иметь общего знакомого х₁.
Выберем общего знакомого для х₁ и х₂: скажем, не ограничивая общности, что это х₃. Причем, если какой-либо х_q будет знаком с х₂ (х₃), то х₁ и х₂ (х₃) будут иметь двух общих знакомых. Значит, если на некотором шаге останется только одна точка, не имеющая с х₁ общего знакомого (т.е. количество точек четно), то так она и останется, неприкаянная.

Во-первых, в данном случае используется понятие меры, которое прекрасно применяется к одноточечным множествам.
Во-вторых, длина/ширина - то есть метрика - у точки тоже есть и - в отличие от меры - равна нулю.
В-третьих, ничего страшного в том, что множество точек любой мощности состоит из точек тоже нет. Метрика - это отображение пары точек на R и не равна сумме "длин точек", а равна сумме метрик пар точек ("отрезков"). Судите сами: есть множество из трех точек (А,Б,Ц) с метрикой, совершенно "дискретное" даже. Как вы не бейтесь, а из "отрезков" [AA][BB][CC] вы "отрезок" [AC] не получите.
Мера же множества равна сумме мер точек только при операции счетного объединения, когда как чтобы из вещественных точек получить открытое множество операции счетного объединения не хватает.
А "размер", величина точки, - это норма, определенная как раз для каждой точки.
Никаких проблем нет.
Совершенно неясно, откуда вы это взяли.

Ваше во-первых и во-вторых мне неправда. Это во-первых.
Во-вторых, примерчик исчезнувшей модели приведите? Математическое знание абсолютно. Яблоки исчезать могут, но яблоки - не числа.

Вообще меня это дико умиляет. Опыт? В математике? Прогнозирование в математике?! уууу...
Вообще легко мыслить нестереотипно, не зная предмета обсуждения.

Ох.
Аксиомы берутся ровно из ниоткуда, никак они не связаны с опытом, доказанная в рамках модели теорема строго верна и не меняется ни каждый день, ни когда-либо вообще, а формулировка задачи явно подразумевает, что веревка здесь ни при чем. Дети и яблоки - это такая бисквитная арифметика, что уже и не совсем математика. Мы об одной и той же математике говорим? Или кто-то из нас не видел предмета разговора?)

Так никто и не притворяется. Математика никогда не притворялась прикладной наукой, и слава богу)
Но тут-то речь о математике, а не о квантовом портняжном ремесле.
И кстати, математика полностью противоположна софистике)

Аксиомы получены эмпирически? Ой-вей, не надо так, это больно и обидно).
Софистика - использование заведомо противоречивых суждений, когда как математика строит заведомо НЕпротиворечивые модели.

Вы определение меры прочтите. Ровно две аксиомы, ни одна из них не постулирует вами сказанное. И использование меры Лебега тоже нигде не оговаривается на уровне определений.

Тождественный ноль. Необязательно равный нулю на неархимедовом множестве.

По вашей же ссылке:
О чем я и говорил раньше. Либо вы не включаете точки в сигма-алгебру, либо используете другую меру.

//текст доступен после регистрации//
Пополнение поля рациональных чисел дает вещественные числа. То есть вещественное число, фактически, есть множество классов последовательностей. Поэтому понятие точки, на самом деле, малоосмысленно. Отличная иллюстрация к этому - 0,(9)=1. Фактически точки никто и не рассматривает, всегда в матан-определениях, например, точка подменяется на бесконечно малую последовательность окрестностей.