Показать скрытый текст
Занумеруем фонари натуральными числами в порядке следования вдоль дороги. Если отрезки, освещенные n-м и (n+2)-м фонарями, пересекаются (хотя бы по одной точке), то (n+1)-й фонарь можно выключить. Следовательно, отрезки с различными нечетными номерами, не пересекаются. На отрезке длины 1000 м нельзя расположить больше 999 непересекающихся отрезков длины 1 м. Если бы фонарей было хотя бы 1999, то фонарей с нечетными номерами было бы не менее 1000. Значит, фонарей не больше 1998.
Расположим 1998 фонарей так, чтобы центры освещенных отрезков образовывали арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1/2 м, а 1998-й равен 999½ м.
(Разность этой прогрессии равна 999/1997.) Расстояние между n-м и (n+2)-м фонарем равно 1998/1997. Значит, между отрезками, освещенными этими фонарями, имеется зазор в 1/1997 м. Его освещает только (n+1)-й фонарь. Поэтому никакой фонарь нельзя выключить.
Записан