8. Дано параболу y=x^2 и прикасающаяся к ней окружность(#1) с радиусом 0,5 и центром (0;0,5).
окружность #2 своим низом касается окружности #1, а боками касается параболы.
окружность #3 своим низом касается окружности #2, а боками касается параболы.
и т.д.
Какой радиус у окружности #7777?
Показать скрытый текст
7777-1/2
подскажите далеким от математики, как у вас это получилось?)
Выясним радиус окружности, касающеся параболы, в зависимости от высоты центра. Т.е. если центр имеет координаты (0,h), то какой будет радиус R.
уравнение окружности имеет вид:
x^2 + (y - h)^2 = R^2.
Нам достаточно нижней полуокружности, так как если окружность и касается параболы то только в ней:
________
y = -\/R^2-x^2 + h
Графики касаются друг друга, значит в точке касания у них совпадают касательные к ним, т.е. производные функций в точке касания совпадают
__________
y' = x / \/R^2 - x^2
y' = 2x (производная параболы)
__________
x/ \/R^2 - x^2 = 2x
__________
\/R^2 - x^2 = 1/2
_________
x = \/R^2 - 1/4
_________
Производные у двух функций совпадают в точке x = \/R^2 - 1/4
Также значения функций в данной точке должны совпадать
подставля данную точку в уравнение нижней полуокружности получаем
y = -1/2 +h
Подставля в уравнение параболы:
y = R^2 - 1/4
Приравнивая правые части получаем
R^2 - 1/4 = h - 1/2
R^2 - h + 1/4 = 0
Теперь для окружности #2
h = 0,5*2 + R_2
получаем уравнение
(R_2)^2 - R_2 - 3/4 = 0
Откуда R_2 = 3/2
Для окружности #3
h = 2*0,5 + 2*3/2 + R3 = 4 + R_3
Получаем уравнение
(R_3)^2 - (R_3) - 15/4 = 0
R_3 = 5/2
Ну а двльше возникает предположение, что радиусы увеличиваются на еденицу, которое (предположение) подтверждает мат. индукция.
Записан