Список голосов Thank You

[Новак]

ax^2 – by^2 = c , a,b,c – цілі. Нехай x^2 = n  y^2 = m , звідки an – bm = c – діофантове рівняння 1-ї степені з двома не відомими.

Теорема. Якщо в рівнянні an – bm = c , НСД( a , b) = 1 , то всі цілі розв’язки цього рівняння описують формули: n = n₀c – bt , m = m₀c – at , де n₀ , m₀ – цілий розв’язок рівняння an – bm = 1 , t – довільне ціле число.

Для 3x^2 – 2y^2 = 270 та 3x^2 – 2y^2 = 2160  НСД( 3 , 2 ) = 1. Згідно теореми маємо розв’язки цих рівнянь:
x^2 = c – 2t , y^2 = c – 3t, де с = 270 і 2160; t – довільне ціле.

Щоб при спільному t  x та y були цілими, необхідно, щоб c > = 3t > = 2t , причому, якщо с – наприклад, не просте і представляється як с = d₁3^i = d₂2^j , де i , j > = 0, d₁ , d₂ > 1 - цілі, тоді:
(d₁ = 1 або, ділячись на 3, дає остачу 1) і (d₂ = 1 або, ділячись на 2, дає остачу 1).

270 = 10*3^3, 10 = 3*3 + 1
270 = 135*2^1, 135 = 67*2 + 1
При с = 270 цілий розв’язок існує

2160 = 80*3^3, 80 = 26*3 + 2
2160 = 135*2^4, 135 = 67*2 + 1
При с = 2160 цілий розв’язок не існує

Якось так...