Парадокс двух конвертов

[Smith]

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

[Л.К.Вольфхарт]

Смит
 А один раз играем?

[Маша]

предложите мне эти конверты плевать какой выберу я не обижусь если соседу достанется больше

[Smith]

Смит
 А один раз играем?

нет. столько, сколько хотите

[Smith]

предложите мне эти конверты плевать какой выберу я не обижусь если соседу достанется больше

верю Вам, Маша, отчего-то
вообще, подобного рода игры предлагают Игорные Дома, например, когда содержиммое второго конверта можно преобрести за сумму, увиденную в первом выбранном конверте

[Маша]

когда содержиммое второго конверта можно преобрести за сумму, увиденную в первом выбранном конверте

тогда я не играю 

[Smith]

когда содержиммое второго конверта можно преобрести за сумму, увиденную в первом выбранном конверте

тогда я не играю 

почему?

[Маша]

не верю Игорным Домам

[Smith]

Игорные Дома представляют конкретные, совершенно земные люди.  и потом: вопрос ведь не в деньгах, а, как вы уже догадались, в их количестве

[Маша]

вопрос ведь не в деньгах, а, как вы уже догадались, в их количестве

ага, как и счастье

Игорные Дома представляют конкретные, совершенно земные люди.

Понимаю, но чето мне не хочется делиться с ними своими убитыми енотиками

[Smith]

а вот это верно. нужно сделать так, чтобы они делились с вами, причем добровольно. об этом, собственно, данный пост

[Л.К.Вольфхарт]

Если играть один раз то тогда меняться нет смісла. А вот если раз 100 то вполне логично рискнуть (терять то нечего)

[Smith]

предполагается, что игра повторяется многократно

тут вопрос глубже: к примеру, если нам известна максимальная ставка, которая может быть поставлена на кон (т.е. максимальная возможная сумма в конверте). что это нам дает?

[Л.К.Вольфхарт]

Убирает половину возможных комбинаций. Если 1000 макс. а в открытом 500 то во втором или 1000 или 250. А вот если в открытом 501, 502 итд. до 1000 то конверт оставляем.

[Тиана]

если нам известна максимальная ставка на кон (т.е. максимальная возможная сумма в конверте), а это не противоречит условию, мы вроде как не знаем скок в конверте или я чего-то не даганяю ...