Парадокс двух конвертов

[Tmin]

Ответ на мой вопрос:
- вероятность того, что в конверте <X  - стремится к нолю.

Не важно, X = 5, 100 или 10^999999999999999, больше этого числа всегда есть бесконечное множество чисел.

К чему я это? Относительно "парадокса" конвертов - надо четко понимать, что количество вариантов пар конвертов всегда является конечным множеством и ограничена гипотетическим минимумом и максимумом. А значит, чем больше сумма в одном конверте, тем НИЖЕ вероятность, что во втором конверте сумма больше. Это взаимосвязанные события и вероятность тут условная. 50/50 мы имеем до тех пор, пока мы не открыли конверт. Как только мы узнали сумму в одном конверте, вероятность становится условной. Но никак не 50/50.



Больше или меньше во втором конверте. 1/2
Увижу динозавра или не увижу? 1/2

Оба эти вопроса дают полную неопределенность или 50% вероятности ДО ТЕХ ПОР пока мы не получаем дополнительную информацию. Сумма в первом конверте и то, что динозавры в большей долей вероятности вымерли, делают вероятность условной и зависимой от других факторов.

На столе 2 шкатулки. В первой шкатулке или во второй приз? Те же 50%, пока мы не узнаем, что оказывается, после случайного выбора одной шкатулки из трех, ведущий открыл третью, пустую! И все, те же 2 закрытые шкатулки на столе, но вероятность уже 1/3, потому что стала доступна дополнительная информация.

del

[Tmin]

Вот, придумал, ка выразить свою мысль!


Перед вами конверт. Оцените соотношение вероятностей вариантов a и b.
a) В конверте $100
b) В конверте $10^987654321234567890


?

В оригинале Парадокс 2-х конвертов. Деньги визуально не определяются. 

[Димыч]

Парадокс возникает из-за путаницы с априорной и апостериорной вероятностью. Априорные вероятности выбрать конверт с большей и меньшей суммой равны 1/2 и не зависят от того, как изначально выбиралась пара конвертов. Но когда мы открыли конверт, мы получили новую информацию о сделанном выборе, и апостериорные вероятности, вообще говоря, будут другими. С точки зрения того, кто готовил конверты, когда стала известна сумма в выбранном конверте, вероятности стали равны 0 и 1. Для нас апостериорные вероятности зависят от того, каким было распределение вероятностей при подготовке пары конвертов.
Наверняка всё это уже несколько раз писалось в этой теме, мне лень искать.

[Tmin]

 

[Tmin]

Парадокс возникает из-за путаницы с априорной и апостериорной вероятностью. Априорные вероятности выбрать конверт с большей и меньшей суммой равны 1/2 и не зависят от того, как изначально выбиралась пара конвертов. Но когда мы открыли конверт, мы получили новую информацию о сделанном выборе, и апостериорные вероятности, вообще говоря, будут другими. С точки зрения того, кто готовил конверты, когда стала известна сумма в выбранном конверте, вероятности стали равны 0 и 1. Для нас апостериорные вероятности зависят от того, каким было распределение вероятностей при подготовке пары конвертов.
Наверняка всё это уже несколько раз писалось в этой теме, мне лень искать.

Спасибо, Димыч посмотрю, Вам доверяю

[Tmin]

кстати, насчёт подготовки конвертов в оригинале задачи ничего не говорится, так что её можно рассматривать как случайную выборку роботом. И вот тут можно и поговорить

[Димыч]

Это еще не всё. Даже если мы вобъем себе в голову, что вероятности не изменились (такое теоретически возможно, если вначале вероятность пары (x, x/2) была точно равна вероятности пары (x,2x)), это сделает правильной только первую часть рассуждения, но не вторую. Конверты принципиально несимметричны для нас, потому что один мы открыли и увидели сумму в нем, а второй не открывали. Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.

[Tmin]

Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.

Почему? Мне не ясно. Подумаю.

[Netizen]

Любые выводы о том, что вероятность выигрыша одного из ЗАКРЫТЫХ конвертов больше или меньше другого - ошибочны. Равны и шансы события (выбор одного из конвертов) и шансы на прибыль.

Проведя абстрактную аналогию с квантовой механикой, можно сказать, что сумма денег в каждом конверте (с точки зрения теории вероятности) находится в суперпозиции - является одновременно и большей и меньшей суммой с равной вероятностью. Менять или не менять конверты - абсолютно никак не скажется на результате. И только при реализации эффекта наблюдателя - открытия конверта, сумма материализуется (условно) в конкретных конвертах. И тогда уже, в зависимости от этой суммы, можно оценивать варианты второго конверта, базируясь на условной вероятности выбора пары конвертов из всего множества вариантов. И вероятность эта уже не будет 50%.

[Димыч]

Красивую вариацию придумал.
Предположим тот, кто дает нам конверты, с равной вероятностью выбирал из 3 вариантов: 1 и 2, 2 и 4, 4 и 8. И мы это знаем. Может так случиться, что он выберет 2 и 4. Тогда, какой бы из конвертов мы ни открыли, мы придем к выводу, что выгоднее поменять конверт. Но в этом нет никакого противоречия, потому что это 2 разные ситуации, не совместимые между собой. После того как один конверт открыт, мы должны закрыть его обратно и стереть свою память о его содержимом, чтобы можно было перейти к другой ситуации, когда был открыт другой конверт.

[Бляхамуха]

Это еще не всё. Даже если мы вобъем себе в голову, что вероятности не изменились (такое теоретически возможно, если вначале вероятность пары (x, x/2) была точно равна вероятности пары (x,2x)), это сделает правильной только первую часть рассуждения, но не вторую. Конверты принципиально несимметричны для нас, потому что один мы открыли и увидели сумму в нем, а второй не открывали. Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.

Димыч, на счет оценки ситуации с суммами и  выгодой одной перед другой))

 Я держу за спиною кисти рук ( их всего две, если что). Чел должен выбрать одну из них. До выбора я сообщаю, что он может выбрать руку с каким- то количеством отогнутых пальцев. При этом на другой руке их будет либо больше отогнуто, либо меньше на 1. Чел выбирает руку. Там отогнут один средний палец. Вероятность, что на другой руке 0 пальцев (сжатый кулак) или 2 ( коза) 50/50 в теории! На практике, оценив  биологическую особенностью строения человеческой кисти руки, чел понимает, что находиться О пальцев на второй руке не может, т.к. изначально случайно выбрав руку с кулаком, на второй не оказалось бы пальцев -1.
Подумав, однако, что сменив руку, может получить "козой" в глаза, не делает этого.( хотя там и целых два пальца! ))
Понятно теперь? Не надо путать вероятность события и последствия (статистическое матожидание от него в каждой конкретной ситуации).

[Димыч]

Переход от априорных вероятностей к апостериорным замаскирован в совершенно невинной на первый взгляд фразе «допустим, вы увидели $10». Чтобы работать с априорными вероятностями, надо вместо этого сказать «допустим, в конвертах было $10 и $20». Тогда всё становится на свое место: поменяв конверт (не заглядывая внутрь, чтобы не переходить к апостериорным вероятностям), мы с равной вероятностью выиграем или проиграем $10.

[Бляхамуха]

Так нет же такой замаскированной фразы в этом парадоксе.
Говорят, что вы увидите в конверте некое число Х, которое больше или меньше лежащего числа У в другом конверте. Какова вероятность, что У больше или меньше Х? И зависит ли от этого смена конвертов.
Смена конвертов от вероятности нахождения большей или меньшей суммы не зависит!
Она зависит от ОЦЕНКИ числа Х . Оценка же делается на основании кучи критериев, не относящихся к вероятности У.

[Netizen]

Давайте проведем мысленный эксперимент.

Моделируем на основе этого "парадокса" игру с нулевым мат ожиданием:
В Казино крупье вращает огромный шар, в котором перемешиваются боксы с 2-умя конвертами в каждом. Крупье случайно выбирает один из боксов и выкладывает перед вами 2 конверта из него. Вам известно, что в одном из них записана сумма вдвое больше, чем во втором. Вы можете выбрать один из конвертов, менять не глядя.
Когда вы открываете конверт, на ваш счет перечисляется сумма, которая написана там, а с вашего счета снимается сумма в половину суммы в двух конвертах, участвующих в текущем раунде.
Известно, что в шаре 5000 боксов, в одном конверте каждого бокса записано целое число от 1 до 5000 (все варианты присутствуют) а во втором число вдвое больше первого.

В таком условии получается игра с нулевым мат ожиданием. Никакие стратегии не смогут дать вам математическое преимущество. При достаточном количестве раундов, ваша прибыль будет стремиться к нолю. Никакие замены конвертов не помогут. )

А вот если изменить условие и дать игроку возможность поменять конверт, после того, как он узнал сумму, картина кардинально меняется. Мы можем придумать разные варианты стратегий, при которых будем получать стабильную прибыль при достаточном числе повторов.


Например, в ряде случаев мы будем открывать конверт с числом от 5001 до 10000, а по условию задачи мы можем сделать вывод, что все они выигрышные с вероятностью 100%.

А теперь задачка для тех кто хочет посчитать))

Какую комиссию надо игорному дому добавить к каждому раунду (в % от ставки), чтобы исключить возможность стратегии с положительным мат ожиданием.
Для варианта игры с возможностью обменять конверт после просмотра.

[Smith]

4 Tmin

Показать скрытый текст

У меня вопрос к Вам: «почему Вы с таким равнодушием относитесь к своим темам?»,но тем не менее  продвигаете их из года в год.

из 3-х продвинутых мной старых тем я открыл только одну - эту!    продвинул потому, что мне она интересна, и интересны новые мысли по теме. не отвечаю потому, что мне нечего нового сказать, но это не означает, что люди не могут обсуждать на страницах топика свои мысли и мнения по данному вопросу  это же не моя задача, не мною придуманная, и я не являюсь носителем истины последней инстанции.. 

зы: "мопед не мой, я просто дал объяву"