Страниц: 1 ... 31 32 [33] 34
  Печать  
Автор Тема: Парадокс двух конвертов  (Прочитано 130540 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #480 : Сентябрь 27, 2015, 20:20:50 �

Ответ на мой вопрос:
- вероятность того, что в конверте <X  - стремится к нолю.

Не важно, X = 5, 100 или 10^999999999999999, больше этого числа всегда есть бесконечное множество чисел.

К чему я это? Относительно "парадокса" конвертов - надо четко понимать, что количество вариантов пар конвертов всегда является конечным множеством и ограничена гипотетическим минимумом и максимумом. А значит, чем больше сумма в одном конверте, тем НИЖЕ вероятность, что во втором конверте сумма больше. Это взаимосвязанные события и вероятность тут условная. 50/50 мы имеем до тех пор, пока мы не открыли конверт. Как только мы узнали сумму в одном конверте, вероятность становится условной. Но никак не 50/50.



Больше или меньше во втором конверте. 1/2
Увижу динозавра или не увижу? 1/2

Оба эти вопроса дают полную неопределенность или 50% вероятности ДО ТЕХ ПОР пока мы не получаем дополнительную информацию. Сумма в первом конверте и то, что динозавры в большей долей вероятности вымерли, делают вероятность условной и зависимой от других факторов.

На столе 2 шкатулки. В первой шкатулке или во второй приз? Те же 50%, пока мы не узнаем, что оказывается, после случайного выбора одной шкатулки из трех, ведущий открыл третью, пустую! И все, те же 2 закрытые шкатулки на столе, но вероятность уже 1/3, потому что стала доступна дополнительная информация.




del
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 19:05:26 от Tmin Записан
Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #481 : Сентябрь 27, 2015, 20:27:17 �

Вот, придумал, ка выразить свою мысль!


Перед вами конверт. Оцените соотношение вероятностей вариантов a и b.
a) В конверте $100
b) В конверте $10^987654321234567890


?
В оригинале Парадокс 2-х конвертов. Деньги визуально не определяются.  Да
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 11:31:29 от Tmin Записан
Димыч
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 770

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 65
-вас поблагодарили: 383


Просмотр профиля
Ответ #482 : Сентябрь 27, 2015, 20:34:41 �

Парадокс возникает из-за путаницы с априорной и апостериорной вероятностью. Априорные вероятности выбрать конверт с большей и меньшей суммой равны 1/2 и не зависят от того, как изначально выбиралась пара конвертов. Но когда мы открыли конверт, мы получили новую информацию о сделанном выборе, и апостериорные вероятности, вообще говоря, будут другими. С точки зрения того, кто готовил конверты, когда стала известна сумма в выбранном конверте, вероятности стали равны 0 и 1. Для нас апостериорные вероятности зависят от того, каким было распределение вероятностей при подготовке пары конвертов.
Наверняка всё это уже несколько раз писалось в этой теме, мне лень искать.
Записан

Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #483 : Сентябрь 27, 2015, 20:40:42 �

Да  
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 11:32:18 от Tmin Записан
Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #484 : Сентябрь 27, 2015, 20:43:35 �

Парадокс возникает из-за путаницы с априорной и апостериорной вероятностью. Априорные вероятности выбрать конверт с большей и меньшей суммой равны 1/2 и не зависят от того, как изначально выбиралась пара конвертов. Но когда мы открыли конверт, мы получили новую информацию о сделанном выборе, и апостериорные вероятности, вообще говоря, будут другими. С точки зрения того, кто готовил конверты, когда стала известна сумма в выбранном конверте, вероятности стали равны 0 и 1. Для нас апостериорные вероятности зависят от того, каким было распределение вероятностей при подготовке пары конвертов.
Наверняка всё это уже несколько раз писалось в этой теме, мне лень искать.
Спасибо, Димыч посмотрю, Вам доверяю Да
Записан
Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #485 : Сентябрь 27, 2015, 20:48:12 �

кстати, насчёт подготовки конвертов в оригинале задачи ничего не говорится, так что её можно рассматривать как случайную выборку роботом. И вот тут можно и поговорить Да
Записан
Димыч
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 770

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 65
-вас поблагодарили: 383


Просмотр профиля
Ответ #486 : Сентябрь 27, 2015, 20:52:51 �

Это еще не всё. Даже если мы вобъем себе в голову, что вероятности не изменились (такое теоретически возможно, если вначале вероятность пары (x, x/2) была точно равна вероятности пары (x,2x)), это сделает правильной только первую часть рассуждения, но не вторую. Конверты принципиально несимметричны для нас, потому что один мы открыли и увидели сумму в нем, а второй не открывали. Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.
Записан

Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #487 : Сентябрь 27, 2015, 21:09:13 �

Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.
Почему? Мне не ясно. Подумаю. Да
Записан
Netizen
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 19

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1


Просмотр профиля
Ответ #488 : Сентябрь 27, 2015, 21:58:56 �

Любые выводы о том, что вероятность выигрыша одного из ЗАКРЫТЫХ конвертов больше или меньше другого - ошибочны. Равны и шансы события (выбор одного из конвертов) и шансы на прибыль.

Проведя абстрактную аналогию с квантовой механикой, можно сказать, что сумма денег в каждом конверте (с точки зрения теории вероятности) находится в суперпозиции - является одновременно и большей и меньшей суммой с равной вероятностью. Менять или не менять конверты - абсолютно никак не скажется на результате. И только при реализации эффекта наблюдателя - открытия конверта, сумма материализуется (условно) в конкретных конвертах. И тогда уже, в зависимости от этой суммы, можно оценивать варианты второго конверта, базируясь на условной вероятности выбора пары конвертов из всего множества вариантов. И вероятность эта уже не будет 50%.
Записан
Димыч
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 770

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 65
-вас поблагодарили: 383


Просмотр профиля
Ответ #489 : Сентябрь 27, 2015, 22:24:39 �

Красивую вариацию придумал.
Предположим тот, кто дает нам конверты, с равной вероятностью выбирал из 3 вариантов: 1 и 2, 2 и 4, 4 и 8. И мы это знаем. Может так случиться, что он выберет 2 и 4. Тогда, какой бы из конвертов мы ни открыли, мы придем к выводу, что выгоднее поменять конверт. Но в этом нет никакого противоречия, потому что это 2 разные ситуации, не совместимые между собой. После того как один конверт открыт, мы должны закрыть его обратно и стереть свою память о его содержимом, чтобы можно было перейти к другой ситуации, когда был открыт другой конверт.
Записан

Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #490 : Сентябрь 27, 2015, 22:38:25 �

Это еще не всё. Даже если мы вобъем себе в голову, что вероятности не изменились (такое теоретически возможно, если вначале вероятность пары (x, x/2) была точно равна вероятности пары (x,2x)), это сделает правильной только первую часть рассуждения, но не вторую. Конверты принципиально несимметричны для нас, потому что один мы открыли и увидели сумму в нем, а второй не открывали. Когда мы откроем второй конверт, говорить будет уже не о чем, а пока мы его не открыли, никакой новой информации не появилось и рассуждение что второй конверт выгоднее первого остается в силе, сделать вывод, что первый выгоднее второго никак нельзя.

Димыч, на счет оценки ситуации с суммами и  выгодой одной перед другой))

 Я держу за спиною кисти рук ( их всего две, если что). Чел должен выбрать одну из них. До выбора я сообщаю, что он может выбрать руку с каким- то количеством отогнутых пальцев. При этом на другой руке их будет либо больше отогнуто, либо меньше на 1. Чел выбирает руку. Там отогнут один средний палец. Вероятность, что на другой руке 0 пальцев (сжатый кулак) или 2 ( коза) 50/50 в теории! На практике, оценив  биологическую особенностью строения человеческой кисти руки, чел понимает, что находиться О пальцев на второй руке не может, т.к. изначально случайно выбрав руку с кулаком, на второй не оказалось бы пальцев -1.
Подумав, однако, что сменив руку, может получить "козой" в глаза, не делает этого.( хотя там и целых два пальца! ))
Понятно теперь? Не надо путать вероятность события и последствия (статистическое матожидание от него в каждой конкретной ситуации).
Записан
Димыч
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 770

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 65
-вас поблагодарили: 383


Просмотр профиля
Ответ #491 : Сентябрь 27, 2015, 22:47:56 �

Переход от априорных вероятностей к апостериорным замаскирован в совершенно невинной на первый взгляд фразе «допустим, вы увидели $10». Чтобы работать с априорными вероятностями, надо вместо этого сказать «допустим, в конвертах было $10 и $20». Тогда всё становится на свое место: поменяв конверт (не заглядывая внутрь, чтобы не переходить к апостериорным вероятностям), мы с равной вероятностью выиграем или проиграем $10.
Записан

Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #492 : Сентябрь 27, 2015, 22:57:54 �

Так нет же такой замаскированной фразы в этом парадоксе.
Говорят, что вы увидите в конверте некое число Х, которое больше или меньше лежащего числа У в другом конверте. Какова вероятность, что У больше или меньше Х? И зависит ли от этого смена конвертов.
Смена конвертов от вероятности нахождения большей или меньшей суммы не зависит!
Она зависит от ОЦЕНКИ числа Х . Оценка же делается на основании кучи критериев, не относящихся к вероятности У.
Записан
Netizen
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 19

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1


Просмотр профиля
Ответ #493 : Сентябрь 28, 2015, 00:06:17 �

Давайте проведем мысленный эксперимент.

Моделируем на основе этого "парадокса" игру с нулевым мат ожиданием:
В Казино крупье вращает огромный шар, в котором перемешиваются боксы с 2-умя конвертами в каждом. Крупье случайно выбирает один из боксов и выкладывает перед вами 2 конверта из него. Вам известно, что в одном из них записана сумма вдвое больше, чем во втором. Вы можете выбрать один из конвертов, менять не глядя.
Когда вы открываете конверт, на ваш счет перечисляется сумма, которая написана там, а с вашего счета снимается сумма в половину суммы в двух конвертах, участвующих в текущем раунде.
Известно, что в шаре 5000 боксов, в одном конверте каждого бокса записано целое число от 1 до 5000 (все варианты присутствуют) а во втором число вдвое больше первого.

В таком условии получается игра с нулевым мат ожиданием. Никакие стратегии не смогут дать вам математическое преимущество. При достаточном количестве раундов, ваша прибыль будет стремиться к нолю. Никакие замены конвертов не помогут. )

А вот если изменить условие и дать игроку возможность поменять конверт, после того, как он узнал сумму, картина кардинально меняется. Мы можем придумать разные варианты стратегий, при которых будем получать стабильную прибыль при достаточном числе повторов.


Например, в ряде случаев мы будем открывать конверт с числом от 5001 до 10000, а по условию задачи мы можем сделать вывод, что все они выигрышные с вероятностью 100%.

А теперь задачка для тех кто хочет посчитать))

Какую комиссию надо игорному дому добавить к каждому раунду (в % от ставки), чтобы исключить возможность стратегии с положительным мат ожиданием.
Для варианта игры с возможностью обменять конверт после просмотра. Smiley




Записан
Smith
Из мудрейших мудрейший
**
Offline Offline

Сообщений: 2950

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 286
-вас поблагодарили: 305


PeAcE


Просмотр профиля
Ответ #494 : Сентябрь 28, 2015, 08:22:23 �

4 Tmin

Показать скрытый текст
Записан
Страниц: 1 ... 31 32 [33] 34
  Печать  
 
Перейти в: