Страниц: 1 [2]
  Печать  
Автор Тема: XV тур Математического марафона  (Прочитано 24014 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

XV тур Математического марафона

Владимир Лецко начинает новый тур //текст доступен после регистрации//. От меня в этот раз в нём всего одна задача, так что буду осуществлять в основном информационную поддержку.

Задачи очень интересные, за короткой формулировкой открывается широкий простор для мысли. Есть, чем заняться на каникулах Smiley

Решения можно присылать на val@dxdy.ru (в этом случае его сразу увидят оба ведущих), на val-etc@yandex.ru или в ЛС.

Не забывайте высылать вместе с решениями свои эстетические оценки задач.

==================================

Решения принимаются до 10.09.11

ММ141 (3 балла)

Существуют ли натуральные числа n такие, что ?

- сумма натуральных делителей числа n.

==================================

Решения принимаются до 14.09.11

ММ142 (4 балла)

Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200.
Найти n.

==================================

В Тематическом конкурсе тура - вновь комбинаторная геометрия
Более того, во всех тематических задачах, кроме КГ-11, речь вновь пойдет о многоугольниках. Но на этот раз - не обязательно выпуклых.

==================================

Решения принимаются до 18.09.11

ММ143 (КГ-11) (4 балла)

Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?

==================================

Решения принимаются до 23.09.11

ММ144 (5 баллаов)

На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается, когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели?

==================================

В задачах КГ-12 - КГ-15 будем придерживаться следующих определений и обозначений:

Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную, никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n.
Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника.
Назовем сторону полусвободной, если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону, не являющуюся ни свободной, ни полусвободной, будем называть зажатой. Например, сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной, а сторона EF - зажатой. 
Диагональ, все точки которой принадлежат многоугольнику, будем называть внутренней. Диагональ, не имеющую с многоугольником общих точек, за исключением вершин, которые она соединяет, будем называть внешней. Например, диагональ BF (рис. 1) - внутренняя, а диагональ BD - внешняя (диагональ BE  не является ни внешней, ни внутренней).

//текст доступен после регистрации//

 
==================================

Решения принимаются до 27.09.11

ММ145 (КГ12) (3 балла)

Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 1.10.11

ММ146 (4 балла)

При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D2?

==================================

Решения принимаются до 7.10.11

ММ147 (КГ13) (6 баллов)

Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольгик, у которого ровно один угол больше развернутого?

==================================

Решения принимаются до 15.10.11

ММ148 (КГ14) (8 баллов)

Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольгик?

==================================

Решения принимаются до 22.10.11

ММ149 (8 баллов).

При каком наименьшем n в группе перестановок Sn существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы.

Примечание: Задачу можно решить на бумажке, без компьютерного перебора

==================================

Решения принимаются до 31.10.11

ММ150 (КГ15) (12 баллов)

Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого, зеленого и красного цветов следующим образом: свободой стороне соответствует белая бусина; полусвободной - зеленая; зажатой - красная.
Два n-угольника назовем эквивалентными, если им соответствуют одинаковые ожерелья (ожерелье не меняется при поворотах и переворачивании). На сколько классов эквивалентности разобьются 20-угольники?
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164



Просмотр профиля
Ответ #15 : Сентябрь 11, 2011, 11:12:14 �

Переслал решения Ведущему, кстати, ещё есть время решить остальные задачи.

Решившие, пожалуйста, оцените задачи по пятибалльной шкале.

И ещё - есть пожелание (пожелание, не требование), подпишите, пожалуйста, по традиции Марафона, решения именами и фамилиями.
Последнее редактирование: Сентябрь 11, 2011, 11:14:45 от General Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 277



Просмотр профиля Email
Ответ #16 : Октябрь 04, 2011, 14:31:30 �

Из всех задач марафона не смог решить только ММ144. Сейчас просмотрел решение на dxdy и остался недоволен. ИМХО, этот текст нельзя считать математическим доказательством.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
General
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 681

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164



Просмотр профиля
Ответ #17 : Октябрь 04, 2011, 16:06:14 �

А почему? Какие моменты упущены?
Записан

5 Головоломок | //текст доступен после регистрации//
Sirion
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1095

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 137
-вас поблагодарили: 277



Просмотр профиля Email
Ответ #18 : Октябрь 04, 2011, 16:24:31 �

Все. По крайней мере, все важные. Задача разбирается как шахматная партия. "Белые играют тоньше", "прекрасный ход"... Строгие доказательства, что у чёрных нет шанса продержаться дольше, а белые не могут закончить быстрее, не приводятся нигде.
Записан

sirion=irion+srion+rion+siion+iion+sion+ion+siron+iron+sron+ron+sion+ion+son+on+sirin+
+irin+srin+rin+siin+iin+sin+in+sirn+irn+srn+rn+sin+in+sn+n+sirio+irio+srio+rio+siio+
+iio+sio+io+siro+iro+sro+ro+sio+io+so+o+siri+iri+sri+ri+sii+ii+si+i+sir+ir+sr+r+si+i+s
Rhitteehelf
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 5

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1

[url=http://email-verify.my-addr.com/bulk-email-verification-online-tool.php]bulk email validation[/url]

285677171 manikbrewepon@gmail.com
Просмотр профиля
Ответ #19 : Ноябрь 28, 2011, 14:38:48 �

Подскажите пожалуйста
По сарафанному радио узнала что теперь при УСНО в ООО обязаны применять БСО "ТУР-1" только типографические, а самим распечатывать нельзя???
Как можно???
Записан

//текст доступен после регистрации//
Лев
Из мудрейших мудрейший
*****
Offline Offline

Сообщений: 2906

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1229
-вас поблагодарили: 1160


Искренне Ваш...


Просмотр профиля Email
Ответ #20 : Декабрь 06, 2011, 17:21:22 �

Мы с ботами не разговариваем!

Показать скрытый текст
Записан

В действительности все не так, как на самом деле
Женя72
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 9

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 4
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
Ответ #21 : Ноябрь 10, 2013, 01:01:20 �

подскажите задали ребенку задачку 
купили    конфеты
100штук
 по цене 50руб/шт  , 10 руб/шт, 1 руб/шт   ПОнятное дело   таких цен уж давно нет))))))))
 но и задачку не могу решить   уравнением решила........
Получим систему уравнений
x+y+z=100
50x+10y+z=500
Избавимся от z и получим
49х+9у=400 откуда
х=(400-9у)/49
у= (400-49)/9
тут все просто
х+39+z=100
50x+390+z=500  Решаем систему и находим х=1 z=60 у=39
Но как обяснить  ребенку, не через х)))))   и не системой
Записан
Питер Пен
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 335

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 92
-вас поблагодарили: 117


Просмотр профиля
Ответ #22 : Ноябрь 10, 2013, 01:49:44 �

Такие задачи направлены на внимание и решаются они следующим образом.
Как должно следовать из условия задачи, по крайней мере, купили 1 конфету за 50 руб.
Значит конфет за 10 руб. купили менее 45 шт. ((500-50)/10), т.е., по крайней мере,  44 штуки.
Следовательно, конфет по 1 руб. купили не менее 10 шт., т.к. (500 руб. – (1шт.*50 руб.)-(44шт.*10 руб.))/1руб.)=10шт.
У Вас получилось следующее:
1шт.    *    50 руб.  =  50 руб.
44шт.  *   10 руб.  = 440 руб.
10шт.  *   1 руб.    = 10 руб.
Таким образом, 55 шт. конфет куплено на 500 руб.
Причем конфеты по 1 руб. могли покупать только десятками (это следует из суммы покупки (500руб.)).
Теперь замечаете, что если вы будете уменьшать по 1-й шт. конфет стоимостью в 10 руб. и одновременно добавлять 10шт. конфет стоимостью 1 руб., то общая сумма покупки (500 руб.) не изменится.
В связи с чем, осталось определить, сколько таких уменьшений необходимо произвести.
А это считается так: (100 шт.-55 шт.)/(-1шт.+10шт.) = 5.
Следовательно, в полученном результате нужно сделать 5 замен, т.е. уменьшить 44 шт. конфет по 10 руб. на 5 и одновременно увеличить на 50 шт. (10шт.*5 замен) кол-во конфет по 1 руб.
Вот и получается, что купили: 1 шт. по 50 руб., 39 шт. по 10 руб. и 60 шт. по 1 руб.

Последнее редактирование: Ноябрь 10, 2013, 01:59:45 от Питер Пен Записан
kecst
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 1

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
Ответ #23 : Июль 31, 2019, 15:17:59 �

Крутотень)
Записан
Yozshuzragore
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 9

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 0



Просмотр профиля
Ответ #24 : Февраль 26, 2020, 22:16:56 �

А напомните-ка мне, число n является делителем числа n?
Записан
Страниц: 1 [2]
  Печать  
 
Перейти в: