Пётр и Павел

[fortpost]

Пётр родился в XIX веке, а его брат Павел – в XX веке. Однажды братья встретились на праздновании своего общего дня рождения. Пётр сказал: «Мой возраст равен сумме цифр года моего рождения». «Мой тоже»,– ответил Павел. На сколько лет Павел младше Петра?

[BIVES]

Показать скрытый текст

Петр 1892, Павел 1901, Павел младше на 9 лет. Встретились в 1912 году.

[fortpost]

Показать скрытый текст

Петр 1892, Павел 1901, Павел младше на 9 лет. Встретились в 1912 году.

Ага, так!

[семеныч]

Во время их встречи Петру и Павлу было 1 + 8 + x + y лет и 1 + 9 + u + v лет соответственно. Определим двумя способами год, в котором произошла встреча. Поскольку возраст Петра на тот момент был равен сумме цифр его года рождения, встреча произошла в 1800 + 10x + y + 9 + x + y году. С другой стороны, и возраст Павла был равен сумме цифр его года рождения, а значит, встреча произошла в 1900 + 10u + v + 10 + u + v году. Получаем уравнение 1800 + 10x + y + 9 + x + y = 1900 + 10u + v + 10 + u + v.

После упрощений уравнение преобразуется к виду 11(x – u) + 2(y – v) = 101, где x – u и y – v — целые числа, не превосходящие по модулю 9. Перепишем его в виде 11(x – u) + 2(y – v – 1) = 99.
Заметим, что 99 делится на 11 и 11(x – u) делится на 11, а потому и y – v – 1 должно делиться на 11. Так как –9 ≤ y – v ≤ 9, то y – v = 1. Следовательно, x – u = 9. Павел старше Петра на
1900 + 10u + v – 1800 – 10x – y = = 100 – 10(x – u) – (y – v) = 100 – 90 – 1 = 9 лет.