Страниц: [1]
  Печать  
Автор Тема: Геометрия  (Прочитано 4987 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.
петровна
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 31

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 3
-вас поблагодарили: 0


Просмотр профиля
: Март 17, 2013, 14:32:47 �

1)  В целочисленном треугольнике( то есть , длины треугольника целые числа) одна из сторон равна 3,а периметр 18см. Найдите две другие стороны.

2)Докажите, что в произвольном выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей меншь периметра этого четырехугольника и больше  его полупериметра.

3) Докажите, что в любом треугольнике сумма длин медиан а) меньше периметра треугольника б) больше 3/4 периметра треугольника.

4)В треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан. Докажите что этот треугольник тупоугольный.
Последнее редактирование: Март 17, 2013, 14:42:55 от петровна Записан
Александёр
Давненько
**
Offline Offline

Сообщений: 70

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39



Просмотр профиля
Ответ #1 : Март 18, 2013, 15:54:27 �

1)  Две другие стороны - 7 и 8 см.
Решение:
Большая сторона треугольника меньше его полупериметра 9 (=18/2) - неравенство треугольника. С другой стороны, она не меньше (18-3)/2=7,5 - так как это большая сторона. Остаётся единственное решение в целых числах. Большая неизвестная сторона 8 см, другая неизвестная - 7 см.
Последнее редактирование: Март 19, 2013, 16:11:00 от Александёр Записан
Александёр
Давненько
**
Offline Offline

Сообщений: 70

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39



Просмотр профиля
Ответ #2 : Март 18, 2013, 15:55:34 �

Я так понимаю, все задачи на тему "Неравенство треугольника". Чуть позже выложу решения - они очень просты, но писать сейчас времени нет. Отойти надо.  Wink

2) Обозначим выпуклый четырёхугольник ABCD, точку пересечения диагоналей AC и BD - т.O. Запишем неравенства треугольника:
AO+OB>AB
AO+OD>AD
BO+OC>BC
CO+OD>CD
Просуммируем их и получим искомое утверждение: 2 (AC+BD)> AB+BC+CD+AD=P => AC+BD>P/2

Пусть теперь, для определённости, AC - меньшая диагональ, то бишь: AC<=BD


Имеем: AC+BD<=2BD<(AB+AD)+(BC+CD)=AB+BC+CD+AD=P

3) Приведу решение, использующее неравенство треугольника.
Обозначим наш треугольник ABC, а точку пересечения медиан AA1, BB1 и CC1- т. О., достроим его до параллелограмма ABCD. Тогда медиана BB1=0,5*BD < (AB+AD)/2 < (AB+BC)/2 (так как AD=BC)
Значит медиана меньше полусуммы двух сторон треугольника, между которыми она заключена.
Аналогично рассуждая, имеем:
CC1 < (AC+BC)/2
AA1 < (AB+AC)/2
Суммируя три неравенства, получим:
AA1+BB1+CC1 < AB+AC+BC = P

C другой стороны,
AO+OB > AB
AO+OC > AC
BO+OC > BC
Суммируя эти неравенства, получим: 2(AO+OB+OC)>AB+BC+AC = P, но AO = 2/3 AA1, OB = 2/3 BB1, OC = 2/3 CC1, значит 4/3 (AA1+BB1+CC1) < P и (AA1+BB1+CC1) < 0,75*P

4) Если в треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан, то и подавно большая из средних линий (которая параллельна большей стороне ) больше меньшей из медиан (проведённой к большей стороне треугольника). Пусть, для определённости, дан треугольник ABC с большей стороной BC. Тогда в треугольнике AA1C угол A1AC > угла A1CA (он лежит против большей стороны: A1C > AA1), а в треугольнике AA1B угол A1AB > угла A1BA (он лежит против большей стороны: A1B > AA1).
Складывая эти неравенства, получим, что в треугольнике ABC угол BAC больше суммы углов ABC и ACB.
Рассматривая сумму углов треугольника и заменяя сумму углов ABC и ACB на большее значение - угол BAC, получим неравенство: 2 угла BAC>180o <=> угол BAC >90o, что и требовалось доказать  Крутой
P.S.
Если непонятно, почему меньшая из медиан  - эта медиана, проведённая к большей стороне треугольника, то можно напомнить формулу вычисления медианы. Формулу вставлять лень, пишу словами: медиана, проведённая к стороне AB, равна половине корня из удвоенной суммы квадратов сторон, из которой вычтено 3 квадрата стороны AB.
Последнее редактирование: Март 18, 2013, 17:36:42 от Александёр Записан
Страниц: [1]
  Печать  
 
Перейти в: