Я так понимаю, все задачи на тему "Неравенство треугольника". Чуть позже выложу решения - они очень просты, но писать сейчас времени нет. Отойти надо.
2) Обозначим выпуклый четырёхугольник ABCD, точку пересечения диагоналей AC и BD - т.O. Запишем неравенства треугольника:
AO+OB>AB
AO+OD>AD
BO+OC>BC
CO+OD>CD
Просуммируем их и получим искомое утверждение: 2 (AC+BD)> AB+BC+CD+AD=P => AC+BD>P/2
Пусть теперь, для определённости, AC - меньшая диагональ, то бишь: AC<=BD
Имеем: AC+BD<=2BD<(AB+AD)+(BC+CD)=AB+BC+CD+AD=P
3) Приведу решение, использующее неравенство треугольника.
Обозначим наш треугольник ABC, а точку пересечения медиан AA
1, BB
1 и CC
1- т. О., достроим его до параллелограмма ABCD. Тогда медиана BB
1=0,5*BD < (AB+AD)/2 < (AB+BC)/2 (так как AD=BC)
Значит медиана меньше полусуммы двух сторон треугольника, между которыми она заключена.
Аналогично рассуждая, имеем:
CC
1 < (AC+BC)/2
AA
1 < (AB+AC)/2
Суммируя три неравенства, получим:
AA
1+BB
1+CC
1 < AB+AC+BC = P
C другой стороны,
AO+OB > AB
AO+OC > AC
BO+OC > BC
Суммируя эти неравенства, получим: 2(AO+OB+OC)>AB+BC+AC = P, но AO = 2/3 AA
1, OB = 2/3 BB
1, OC = 2/3 CC
1, значит 4/3 (AA
1+BB
1+CC
1) < P и (AA
1+BB
1+CC
1) < 0,75*P
4) Если в треугольнике одна из средних линий больше одной из медиан, то и подавно
большая из средних линий (которая параллельна большей стороне ) больше
меньшей из медиан (проведённой к большей стороне треугольника). Пусть, для определённости, дан треугольник ABC с большей стороной BC. Тогда в треугольнике AA
1C угол A
1AC > угла A
1CA (он лежит против большей стороны: A
1C > AA
1), а в треугольнике AA
1B угол A
1AB > угла A
1BA (он лежит против большей стороны: A
1B > AA
1).
Складывая эти неравенства, получим, что в треугольнике ABC угол BAC больше суммы углов ABC и ACB.
Рассматривая сумму углов треугольника и заменяя сумму углов ABC и ACB на большее значение - угол BAC, получим неравенство: 2 угла BAC>180
o <=> угол BAC >90
o, что и требовалось доказать
P.S.
Если непонятно, почему меньшая из медиан - эта медиана, проведённая к большей стороне треугольника, то можно напомнить формулу вычисления медианы. Формулу вставлять лень, пишу словами: медиана, проведённая к стороне AB, равна половине корня из удвоенной суммы квадратов сторон, из которой вычтено 3 квадрата стороны AB.