В клетках квадратной таблицы 3 x 3 расставлены числа 1, 2, 3, . . . , 9 так, что сумма каждых четырех чисел, заполняющих квадрат 2 x 2, равна одному и тому же числу s. Найдите все возможные значения s.
iPhonograph
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 2100
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1315
Дискоед
|
|
� Ответ #15 : Ноябрь 08, 2013, 22:00:21 � |
|
а где доказательство, что при n=3 и нечётном m это всегда получится?
|
|
|
Записан
|
"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
|
|
|
Питер Пен
Свой человек
Offline
Сообщений: 335
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 92
-вас поблагодарили: 117
|
|
� Ответ #16 : Ноябрь 08, 2013, 22:05:02 � |
|
Думаю не получится для четного количества групп с нечетным количеством команд. Например, 2 группы по 3 команды
А так думаю, ты ответил, главное чтобы сумма была в группах одинаковая.
Да, так оно и есть! Конечно, так оно и есть - как же такому не быть?! Другое дело, что кол-во команд в принципе может быть нечетным (при нечетном кол-ве групп, разумеется). А вот это и есть условие для ответа. То есть сама задача сводится к доказательству этих обстоятельств. Раз, уж, я начал, то и закончу - m и n должны быть больше или равны 2, причем (m+1)*n - должно быть четным числом. Ура, решено!!! А я ведь зашел, чтобы просто условие уточнить. Такие задачи направлены не на ответ (т.к. он сразу очевиден), а на поиск доказательства. Поэтому я и стал уточнять условие (требовалось ли там что-либо доказывать).
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Питер Пен
Свой человек
Offline
Сообщений: 335
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 92
-вас поблагодарили: 117
|
|
� Ответ #17 : Ноябрь 08, 2013, 22:08:37 � |
|
а где доказательство, что при n=3 и нечётном m это всегда получится?
И не только это нужно доказать. Нужно также доказать и то, что при четном m и нечетном n это не получится. Вот поэтому и нужно корректировать условие задачи (ИМХО), т.к. в ней важен не очевидный ответ, а доказательство.
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Tim
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1079
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 128
-вас поблагодарили: 1145
|
|
� Ответ #18 : Ноябрь 08, 2013, 22:34:56 � |
|
Ну для четного m и нечетного n доказать легко:
(1+2+...mn)/m = mn(mn+1)/2m=n(mn+1)/2 - число нецелое, что противоречит условию
|
|
|
|
Питер Пен
Свой человек
Offline
Сообщений: 335
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 92
-вас поблагодарили: 117
|
|
� Ответ #19 : Ноябрь 08, 2013, 23:12:56 � |
|
Ну для четного m и нечетного n доказать легко:
(1+2+...mn)/m = mn(mn+1)/2m=n(mn+1)/2 - число нецелое, что противоречит условию
Молодец, Tim!!! Cчитаю, что в задачах такого типа вот так и должен выглядеть ответ (Мало ли, что я там в ответе указал (списал, допустим)). В отношении нечетных m и n, думаю, можно сделать "по разнице", т.е. простым бухгалтерским принципом двойной записи (чтобы пошел баланс): Каждая группа при равномерном заполнении командами нечетным числом отличается на 1, следовательно, будет справедлива разница сумм групп (по отношению к средней группе (балансу), например, в отношении 3-х групп): (-1), 0 и 1 (т.е. есть баланс (-1)+0+1=0)), для которых, естественно, справедливы и 3 перестановки (проводки (по разнице)) (+1 (первая группа)), (-1+1(средняя группа)), (-1 (третья группа)). В оригинале, думаю, доказательство будет другое, но это должно быть проще. Fortpost, наверное, его нам опубликует ЗЫ: Мне задача понравилась - Fortpost, зачет!
|
|
� Последнее редактирование: Ноябрь 08, 2013, 23:18:08 от Питер Пен �
|
Записан
|
|
|
|
iPhonograph
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 2100
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1315
Дискоед
|
|
� Ответ #20 : Ноябрь 08, 2013, 23:29:04 � |
|
что-то в рассуждениях про проводки я не понял доказательства можно подробнее?
|
|
|
Записан
|
"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
|
|
|
Питер Пен
Свой человек
Offline
Сообщений: 335
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 92
-вас поблагодарили: 117
|
|
� Ответ #21 : Ноябрь 09, 2013, 02:22:08 � |
|
Постараюсь расшифровать. Возьмем, к примеру, 3 группы. Равенство сумм номеров команд в каждой из групп гарантированно обеспечивается следующим равномерным заполнением: 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 13 14 15 Среди нечетного количества групп имеется центральная, где каждый номер симметричной ей команде (правее - (Дебет), а левее (Кредит)) «равноудален» от нее на одинаковое количество равных по модулю разниц (1). В указанном примере сумма номеров команд в каждой группе будет равна 39, 40, 41, где 40 – это баланс ((39+40+41)/3), от которого Актив отличается на (-1), а Пассив на (+1). Разумеется, итог не изменится, если изначально вести учет сразу «на разницу». Баланс формируется из операций и основан он на двойной записи по соответствующим счетам. Сумма операций постоянна и равна 1, т.е. на одном счет отражен 1, а на другом (-1). Если возник дисбаланс, это или неправильная арифметика или один из счетов отражен в противоположной части баланса. И если каждый счет соответствует конкретной операции, то (во втором случае) сумма дисбаланса, деленная на 2, должна это подтвердить, т.е. указать сумму операции. В нашем случае сумма операции постоянна и равна 1. Поэтому (1-(-1)/2=1 свидетельствует о том, что это ошибка операции и для баланса имеется реальная возможность поменять местами Актив с Пассивом (по результату этой операции). В нашем примере – это, допустим, развернуть связку 13-14 (Актив) и 8-9 (Пассив). На всякий случай, пример с 5-тью группами: 1 2 3 4 5 10 9 8 7 6 11 12 13 14 15 20 19 18 17 16 21 22 23 24 25 30 29 28 27 26 31 32 33 34 35 _________________ 124,125,126,127,128 -2 -1 0 -1 -2 Баланс = 126 (630/5). Дисбаланс = 6. 6/2=3 - это две подлежащие исправлению операции: 1 - на разницу 2, а друга - на разницу 1. Следовательно, баланса через операции исправляется. Исправление (по связке): - на операцию с суммой 2: (31-33) и (23-25), т.е. переносим (-2) из Дт. в Кт. - на операцию с суммой 1: (12-13) и (3-4), т.е. переносим (-1) из Дт. в Кт. В отношении же четных групп баланс невозможен, т.к. (1+2+3+…n)/n – нецелое число.
|
|
|
Записан
|
|
|
|
iPhonograph
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 2100
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1315
Дискоед
|
|
� Ответ #22 : Ноябрь 09, 2013, 08:36:27 � |
|
ага, понял, если n достаточно велико, то простора для манипуляций с балансом хватит, чтобы выровнять все разности.
а что делать, если n=3, а m - большое (например, 11) ?
|
|
|
Записан
|
"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #23 : Ноябрь 09, 2013, 17:23:14 � |
|
По многочисленным просьбам трудящихся публикуется решение с доказательством. Показать скрытый текст
|
|
� Последнее редактирование: Ноябрь 09, 2013, 17:25:57 от fortpost �
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
iPhonograph
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 2100
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1315
Дискоед
|
|
� Ответ #24 : Ноябрь 09, 2013, 19:45:20 � |
|
ахвононокак!
|
|
|
Записан
|
"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
|
|
|
|