Явная функция для рекурентной последовательности.

[zhekas]

Итак дана последовательность чисел, которая задаётся следующим образом:
a_1 = 10; a_2 = 20; a_3 = 46;  a_{n+3} = 6a_{n+2} - 11a_{n+1} + 6a_n.

Требуется найти явную фунцию f(n) для нахождения a_n. Тоесть a_n = f(n).

[vlad]

Связи с рядом натуральных чисел пока не вычислил, но, может кому-то при решении этой задачи помогут ниже указанные наработки.
 
Если каждый элемент данного ряда выразить как линейную комбинацию первых трёх, и рассматривать коэффициенты при них, то видны разные интересные закономерности:

а4=     6*46-     11*20+    6*10
а5=   25*46-     60*20+   36*10
а6=   90*46-   239*20+ 150*10
а7= 301*46-   840*20+  540*10
а8= 966*46- 2771*20+ 1806*10
...
 
1. коэффициенты при 46 образуют рекурентный ряд а_1=а_2=0, а_n=5*а_{n-1}-6*a_{n-2}+1
2. каждый при 10 ровно в 6 раз больше чем предыдущий при 46
3. каждый при 20 ровно на 1 меньше чем сумма двух других (при 46 и 10)
4. каждый при 20 равен разности между двумя другими, взятыми из следующей строки
есть ещё, но думаю Жекас это всё забракует.

[vlad]

Жекас, проверь вот такой ряд а_1=10, а_2=20, а_n=5*а_{n-1}-6*a_{n-2}+6.
Он полностью соответствует твоему, а порядок рекурсии на единицу меньше (то есть чтоб найти любой элемент надо два предыдущих а не три).

Думаю для решения твоей задачи можно рассматривать этот ряд.

[zhekas]

Жекас, проверь вот такой ряд а_1=10, а_2=20, а_n=5*а_{n-1}-6*a_{n-2}+6.
Он полностью соответствует твоему, а порядок рекурсии на единицу меньше (то есть чтоб найти любой элемент надо два предыдущих а не три).

Думаю для решения твоей задачи можно рассматривать этот ряд.

Да подходит. Рассматривать такой ряд можно. Единственное, это может усложнить процесс решения так как пропала однородность выражения

[zhekas]

Жекас, проверь вот такой ряд а_1=10, а_2=20, а_n=5*а_{n-1}-6*a_{n-2}+6.
Он полностью соответствует твоему, а порядок рекурсии на единицу меньше (то есть чтоб найти любой элемент надо два предыдущих а не три).

Думаю для решения твоей задачи можно рассматривать этот ряд.

Да подходит. Рассматривать такой ряд можно. Единственное, это может усложнить процесс решения так как пропала однородность выражения

Правда от неоднородности (свободного коэффициента +6) можно достаточно просто избавиться

заменив исходную последовательность a_n на b_n.

[vlad]

a_n=3ⁿ+2ⁿ⁺¹+3

[zhekas]

a_n=3ⁿ+2ⁿ⁺¹+3

Верно.

[vlad]

Оно то верно, только как оно решается?

Если б ты знал как я пришел к такому ответу, то спасибку бы не поставил!

[zhekas]

Оно то верно, только как оно решается?

1) Для начала попробуем найти решения для выражения a_{n+3} = 6a_{n+2} - 11a_{n+1} + 6a_n в виде степеней. Т.е.

a_n = x^n. Подставлям в выражение и получаем

x^{n+3} = 6x^{n+2} - 11x^{n+1} + 6x^n

Деля на x^n получим кубическое уравнение с корнями x = 1; x = 2; x = 3.

То есть a_n = 1; b_n = 2^n; c_n = 3^n Подходят в наше рекурентное соотношение.

2) Что бы прийти к нашим начальным данным, нетрудно заметить, что линейная комбинация наших последовательностей, т.е. d_n = x*a_n + y*b_n + z*c_n = x + y*2^n + z*3^n, также подхотит.

Чтобы найти x,y,z составим систему по первым трем элементам.

x + y*2^1 + z*3^1 = 10
x + y*2^2 + z*3^2 = 20
x + y*2^3 + z*3^3 = 46

Решаем систему и получаем ответ

[vlad]

А я, после безуспешного дня, решил, что з данной последовательностью никакой аналог формулы Бине вывести не получится; тогда решил нарисовать приблизительный график на плоскости по данным точкам:
n       1    2     3     4       5      6       7   ...
f(n)   6   10   20   46   116   310   860   ...

Сопоставляя с тангесоидами и параболами, понял что не то. Сопоставил с 3ⁿ, - это ближе. Прибавил 2ⁿ ( то есть f(n)=3ⁿ+2ⁿ), - ещё ближе. Добил до конца с помощью табличных вычислений в excel.