Представляю первую
//текст доступен после регистрации//. Участие в ней – это хорошая возможность поддержать себя в форме перед оффлайновыми олимпиадами, испытать удовольствие от решения красивых задач и, получить повод для гордости, показывая друзьям своё имя в списке победителей.
Задание олимпиады состоит из семи задач, правильное решение каждой задачи оценивается в 7 баллов. Присылайте решения по адресу:
intelmath@narod.ruПодведение итогов олимпиады состоится 2 марта 2010 года.
1.Игра со спичкамиВ двух коробках лежат спички.
Два игрока делают ходы по очереди. За один ход можно:
а) забрать одну спичку из первой коробки, или
б) забрать по одной спичке из обеих коробок, или
в) забрать две спички из второй коробки, или
г) переложить одну спичку из второй коробки в первую.
Выигрывает тот, кто оставляет обе коробки пустыми.
Кто (игрок, начинающий игру, или его соперник) выиграет, если игроки не делают ошибок и вначале в первой коробке 20 спичек, а во второй десять?
2.Пять квадратовЧисло 2010 представляется в виде суммы пяти последовательных квадратов:
2010=18
2+19
2+20
2+21
2+22
2Наименьшее число, которое можно представить в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов – число 55:
55=1
2+2
2+3
2+4
2+5
2.
Как по виду числа определить, представляется ли оно в виде суммы пяти последовательных натуральных квадратов или нет?
3.Увеличение числаЕсли в натуральном числе, не делящемся на 10, перенести предпоследнюю цифру на первое место, оно увеличится в n>1 раз. Для каждого натурального n, для которого такое возможно, приведите пример искомого числа.
4.Простая дробьСогласно справочнику Гугла, 1 фунт равен 0,45359237 килограмма. Найдите простую дробь с минимальными числителем и знаменателем, значение которой отличается от этой десятичной дроби менее, чем на 2*10
-55.Камень, Ножницы, БумагаВ игре «камень-ножницы-бумага» есть три фигуры. Камень считается сильнее Ножниц, Ножницы – сильнее Бумаги, а Бумага – сильнее Камня.
При игре вдвоём оба игрока одновременно выбрасывают на пальцах одну из фигур и, если они различны, определяется победитель. Если же выброшенные фигуры одинаковы – следует ещё одно выбрасывание, и так до выявления победителя.
При игре втроём игроки одновременно выбрасывают одну из фигур, и:
Если все три фигуры различны или все они одинаковы, следует перебрасывание;
Если один игрок выбросил более сильную фигуру, а два других – одинаковую, более слабую, то этот игрок объявляется победителем;
Если один игрок выбросил более слабую фигуру, а два других – одинаковую, более сильную, то далее следует определение победителя из этих двоих.
Сколько в среднем нужно провести выбрасываний, чтобы определить победителя среди троих игроков?
6.Что дальше? Продолжите последовательность:
5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, …
7.Самоописывающее равенствоРавенство 1+2=3 интересно тем, что первое его слагаемое равно общему количеству чётных цифр, использованных в равенстве, второе слагаемое равно общему количеству нечётных цифр в нём, а сумма равна общему количеству цифр в этом равенстве.
Составьте равенство
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=K, где
Слагаемое A равно общему количеству нулей в этом равенстве;
Слагаемое B равно общему количеству единиц в этом равенстве;
Слагаемое C равно общему количеству двоек
и т.д.
Слагаемое J равно общему количеству девяток, а
Сумма K равна общему количеству цифр в этом равенстве.
Удачи!!!
square
Свой человек
 Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
 |
� Ответ #30 : Февраль 08, 2010, 13:50:27 � |
|
Ещё вопрос про последовательность (задача № 6).
Надо ли представлять формулу n-ого члена последовательности? Или достаточно просто написать продолжение?
|
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Илья
Высший разум
Offline
Сообщений: 7695
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 520
-вас поблагодарили: 1030
Терпение, мой друг, терпение...
|
|
� Ответ #31 : Февраль 08, 2010, 14:10:58 � |
|
Вот поэтому я и спросила: почему он неправильный. Наверное потому, что не отвечает заданной точности  |
|
|
|
|
Записан
|
Рост воровства у нас неудержим,
И мы кривою роста дорожим:
Раз все воруют, значит, все при деле!
На этом-то и держится режим!
|
|
|
square
Свой человек
Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
|
� Ответ #32 : Февраль 08, 2010, 14:14:25 � |
|
Вот поэтому я и спросила: почему он неправильный. Наверное потому, что не отвечает заданной точности Ага! Это я уже потом проверила, насчёт точности. А меня смутило другое, был ответ "кратна 5" |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
General
Умник
Offline
Сообщений: 681
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164
|
|
� Ответ #33 : Февраль 08, 2010, 14:39:37 � |
|
Для последовательности нужно найти закономерность (она красивая и математическая, никаких подвохов)
|
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
square
Свой человек
Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
|
� Ответ #34 : Февраль 08, 2010, 15:50:46 � |
|
Да это понятно, что нужно найти закономерность! Только ведь вопрос был не о том. Я спросила: надо ли давать формулу общего члена последовательности? Закономерности могут у всех разные получиться. Я вот напишу вам продолжение последовательности (хоть до сотого члена), а вы догадаетесь, какая у меня закономерность? |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
General
Умник
Offline
Сообщений: 681
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164
|
|
� Ответ #35 : Февраль 08, 2010, 16:53:38 � |
|
Так вы же словами эту закономерность тоже опишете?
|
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
square
Свой человек
Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
|
� Ответ #36 : Февраль 08, 2010, 17:03:31 � |
|
Словами запросто опишу. Но ведь у нас вроде математическая задача, а к ней слова как-то негоже прилагать. Вот общая формула для любого члена последовательности - это совсем другое дело Скажем, вы захотите вычислить 101-ый член. По словесному описанию последовательности это не совсем удобно, а по формуле - легко! |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
square
Свой человек
Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
|
� Ответ #37 : Февраль 09, 2010, 08:42:36 � |
|
General Мне кажется, то правило относительно последовательности, которое вы написали мне в ЛС, будет интересно всем: "... собственно, относительно последовательности я думал, вполне логичны правила, действовавшие ещё в математическом марафоне. Если участник находит закон, описывающий члены последовательности, и этот закон отличается от загаданного автором, то это засчитывается за правильный ответ". Я описала подробно построенную мной последовательность, даже с формулами (отправила в личку). Почти уверена в том, что это не та последовательность, которую имеете в виду вы. В этом заключается для меня интрига данной задачи! Подождём 2 марта, когда вы нам откроете свою последовательность |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
General
Умник
Offline
Сообщений: 681
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164
|
|
� Ответ #38 : Февраль 09, 2010, 17:01:50 � |
|
Спасибо, я как раз хотел продублировать. Ещё добавлю, что keit всего, по-моему, про последовательности было сказано в правилах Математического марафона, и этот подход я также предполагаю применять Замечание 2.
Пример "решения", за которое не будут начисляться призовые баллы:
Пусть надо продолжить последовательность 3, 17, 145... . Положим f(1)=3, f(2)=17, f(3)=145, построим соответствующий интерполяционный многочлен f(x)=57x^2-157x+103 , а за продолжение последовательности возьмем f(4), f(5)... |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
агрессивный Петрович
Свой человек
Offline
Сообщений: 355
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 30
-вас поблагодарили: 16
|
|
� Ответ #39 : Февраль 10, 2010, 12:17:16 � |
|
Замечание 2.
Пример "решения", за которое не будут начисляться призовые баллы:
Пусть надо продолжить последовательность 3, 17, 145... . Положим f(1)=3, f(2)=17, f(3)=145, построим соответствующий интерполяционный многочлен f(x)=57x^2-157x+103 , а за продолжение последовательности возьмем f(4), f(5)... Поменяйте лампочку, но руками не пользуйтесь. И почему я не удивлен...  |
|
|
|
|
Записан
|
Когда тыкаешь мёртвое животное, не бей сразу в глаз, смакуй момент.
|
|
|
Илья
Высший разум
Offline
Сообщений: 7695
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 520
-вас поблагодарили: 1030
Терпение, мой друг, терпение...
|
|
� Ответ #40 : Февраль 10, 2010, 16:51:45 � |
|
Поменяйте лампочку, но руками не пользуйтесь. И почему я не удивлен... Надо пользоваться не руками, а головой - тогда и удивляться не придется. |
|
|
|
|
Записан
|
Рост воровства у нас неудержим,
И мы кривою роста дорожим:
Раз все воруют, значит, все при деле!
На этом-то и держится режим!
|
|
|
sek140675
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1861
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 283
-вас поблагодарили: 108
|
|
� Ответ #41 : Февраль 10, 2010, 17:48:21 � |
|
даже Олимпиада отошла на задний план
весь математический мир ждет 2 марта
|
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
General
Умник
Offline
Сообщений: 681
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 47
-вас поблагодарили: 164
|
|
� Ответ #42 : Февраль 13, 2010, 20:14:54 � |
|
По количеству участников лидирует мой родной //текст доступен после регистрации//Задача 6 с последовательностью оказалась самой сложной, судя по текущему объёму полученных сообщений. Поэтому прокомментирую прежде всего её. Собственно, сама последовательность без всяких подвохов, правило чисто математическое. Сам вопрос можно сформулировать и так: “У чисел из этой последовательности есть одно общее свойство. Продолжите её.” 5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, … Принимая решения этой задачи, я стараюсь следовать духу математического марафона, в котором сам принимал участие. В частности: если у вас имеется последовательность из n членов и вы как общий закон её построения предлагаете многочлен степени n-1, такой ответ не может быть принят. Также не может быть принят метод нахождения n-1 разностей между соседними членами последовательности и зацикливание их. По моему мнению, признаком того, что вы нашли правило, может служить тот факт, что это же правило могло дать нам меньшее число членов последовательности, а остальные члены используются для контроля правильности. Хорошее правило должно быть красивым. Если вы находите красивое правило, отличающееся от загаданного – оно оценится также в полные 7 баллов. Я готов к обсуждению. По задаче 2 про сумму квадратов: вашим результатом должен быть метод, позволяющий отличить числа, представимые в виде суммы 5ти квадратов от остальных. Ещё одно: некоторые товарищи порешали задачи, а в ЛС или на почту решения не высылают  В любом случае, до 2 марта времени ещё полно, так что удачи всем! |
|
|
|
� Последнее редактирование: Февраль 13, 2010, 20:18:16 от General �
|
Записан
|
|
|
|
square
Свой человек
Offline
Сообщений: 333
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 14
|
|
� Ответ #43 : Февраль 15, 2010, 14:18:58 � |
|
Также не может быть принят метод нахождения n-1 разностей между соседними членами последовательности и зацикливание их. Ага, это как раз тот метод, который я применила при построении последовательности. Поскольку так нельзя и потому решение моё неверное, я его покажу. Чтобы все знали, как не надо решать Я строю последовательность так: 5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, 35, 37, 39, 43, 45, 53, 55, 59, 61, 63, 67, 69, 77, 79, 83, 85, 87, 91, 93, ... Очевидно, что закономерность в этой последовательности имеется. Я даже написала формулы для всех членов последовательности для n = 0, 1, 2, 3, .... Таких формул 7 - для 7 групп членов, которые циклически повторяются. Вот этих 7 формул: a 7n+2 = a 7n+1 + 2 a 7n+3 = a 7n+2 +4 a 7n+4 = a 7n+3 + 2 a 7n+5 = a 7n+4 + 2 a 7n+6 = a 7n+5 + 4 a 7n+7 = a 7n+6 + 2 a 7n+8 = a 7n+7 + 8 При этом надо считать заданным только первый член последовательности a 1 = 5, он у нас и задан. Никак не могу понять, почему так нельзя задать последовательность. Кто-нибудь (кроме ведущего олимпиады) может объяснить, что так нельзя задавать последовательности |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Redirect
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1472
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 108
-вас поблагодарили: 214
Is it cocktail hour yet?
|
|
� Ответ #44 : Февраль 15, 2010, 14:35:45 � |
|
Также не может быть принят метод нахождения n-1 разностей между соседними членами последовательности и зацикливание их. Ага, это как раз тот метод, который я применила при построении последовательности. Поскольку так нельзя и потому решение моё неверное, я его покажу. Чтобы все знали, как не надо решать Я строю последовательность так: 5, 7, 11, 13, 15, 19, 21, 29, 31, 35, 37, 39, 43, 45, 53, 55, 59, 61, 63, 67, 69, 77, 79, 83, 85, 87, 91, 93, ... Очевидно, что закономерность в этой последовательности имеется. Я даже написала формулы для всех членов последовательности для n = 0, 1, 2, 3, .... Таких формул 7 - для 7 групп членов, которые циклически повторяются. Вот этих 7 формул: a 7n+2 = a 7n+1 + 2 a 7n+3 = a 7n+2 +4 a 7n+4 = a 7n+3 + 2 a 7n+5 = a 7n+4 + 2 a 7n+6 = a 7n+5 + 4 a 7n+7 = a 7n+6 + 2 a 7n+8 = a 7n+7 + 8 При этом надо считать заданным только первый член последовательности a 1 = 5, он у нас и задан. Никак не могу понять, почему так нельзя задать последовательность. Кто-нибудь (кроме ведущего олимпиады) может объяснить, что так нельзя задавать последовательности Вроде как это уже не будет являться последовательностью, а просто набором чисел |
|
|
|
|
Записан
|
Когда деревья были большими,
Папа - самый сильный, мама - самая красивая,
Я верил этим книгам, фильмам,
И думал никогда курить не буду, даже с фильтром.
Не буду пить, чтоб не расстраивать мать
Буду учиться на пять, чтобы всё узнать.
|
|
|
|
