Лев и человек (задача Р. Радо)

[VVV]

    Эта задача предлагалась на Математических Маневрах. Если информация на сайте соответствует действительности, то участникам решить ее не удалось. Задача 8. Волк гоняется за зайцем на круглой арене. Максимальные скорости их одинаковы. Сможет ли Волк поймать Зайца? (У Радо это лев и человек.) Если считать волка и зайца точками, а для поимки требуется совпадение (, а не сближение на некоторое достаточно малое расстояние), то Волк не сможет поймать Зайца. Доказательство этого утверждения можно найти, например, в книге Л.А. Петросяна и Б.Б. Рихсиева "Преследование на плоскости."

[zhekas]

Будем считать, что заяц движется по краю круга.
радиус окружности R скорость зайца и волка v, соответственно угловая скорость зайца a = v/R
Волк двигается и зентра окружности. Задача волка быть всё время на радиусе зайца.

заяц движется по траектории
x(t)=Rcos(at)
y(t)=Rsin(at)

тогда волк должен двигаться по траектории
x(t)=R*sin(at)cos(at)
y(t)=R*sin(at)sin(at)

тогда через pi/2a секунд волк догонит зайца

[seamew]

я плохо себе это представляю, но мне тоже кажется, что он его таки сможет загнать в угол... блин, осталось на окружности найти углы - всего то!

[VVV]

    Из рассуждения zhekas'а следует лишь то, что умный Заяц не будет бегать по окружности. У него есть стратегия убегания. Заинтересованные лица могут посмотреть вышеуказанный источник. Доказательство очень простое. Оно базируется на 3 фактах: 1) гармонический ряд расходится (это показано в книге), 2) теорема Пифагора, 3) 1/2^2+1/3^2+... +1/k^2+... <1 (этот факт в книге не доказывается, но его легко доказать самостоятельно). На самом деле на основании этих 3 фактах нетрудно восстановить стратегию убегания Зайца.
    Интуиция может говорить, что Зайца поймают. Но умный Заяц все-таки убежит.

[Um_nik]

Вот другое доказательство:
В любой момент мы можем определить точки местонахождения зайца, волка, и направление движения зайца. А волк побежит наперерез. Получаем треугольник, в котором заяц двигается по двум сторонам, а волк - по одной. Неравенство треугольника говорит нам, что сумма двух сторон всегда меньше третьей.

[VVV]

   Это не доказательство, а эвристическое рассуждение. Для такой стратегии Волка расстояние между Волком и Зайцем не будет увеличиваться. Это, да.  Но это не означает, что Волк поймает Зайца. При правильной стратегии Зайца он сможет его поймать лишь за бесконечное время, а это означает, что не поймает.

[PARK]

Волк сможет поймать зайца только в том случае, если их траектории движения пересекутся в одно время в одном месте. Но при сопутствии удачи и правильной тактики зайца это не произойдёт, т.к. заец всегда будет убегать от точки возможного пересечения их траекторий движения.

[zhekas]

и это не доказательство

[VVV]

  Это было не доказательство, а объяснение того факта, что эвристического рассуждения может быть недостаточно. Доказательство теоремы можно найти в книге. Или вывести из 3 вышеперечисленных фактов.