1. Определим вероятность того, что в N-местном самолёте, где все места проданы, предпоследний (в очереди на посадку) пассажир (Д) сядет не на своё место при наличии в очереди сумасшедшей старушки (С).
1.1 Старушка может в очереди быть на одном из N-1 мест.
Вероятность того, что она за Д Рдс = 1/(N-1), а что перед Д: Рсд = (N-2)/(N-1)
1.2. Если старушка за Д, то Д сядет на своё место безусловно,
поэтому определим условную вероятность Рн того, что Д не сядет на своё место в ситуации СД
Где бы С не была бы в очереди перед Д, вероятность того, что место Д будет занято в два раза меньше вероятности того, что С займёт своё место или последнего.
А если старушка займет какое-то другое, промежуточное место кроме перечисленных (Х), то это автоматически (с вероятностью = 1) означает, что появится "аналогичная старушка" с тем же поведением и с тем же соотношением вероятностей (СВ), равным 1:2.
Поэтому промежуточные состояния не интересны - они не меняют СВ и к конечному состоянию КС (Место Старушки или Место Джо или Место Последнего) мы придём с вероятностью = 1.
Следовательно, Рн = 1/(1+2) = 1/3, а общая вероятность Р = Рсд * Рн = (N-2)/(N-1) * 1/3
2. Если таким же образом решить задачу для пред-предпоследнего пассажира, получим:
P = (N-3)/(N-1)*1/4
3. Если решить эту задачу для К-го с конца пассажира (последний - 1-й с конца, предпоследний - 2-й и т.д.), получим:
P = (N-K)/(N-1)*1/(K+1)
4. Tеперь остаётся решить нашу задачу, учитывая, что наш Д может с равной вероятностью 1/N быть последним, предпоследним,...,К-ым с конца,...,первым, просто просуммировав N членов типа 1/N * (N-K)/(N-1)*1/(K+1)
Займёмся суммированием. Но я не умею, как Димыч, изображать сигму и потому буду где не могу обходиться как-то по-другому, надеюсь, поймёте.
4.1 Постараемся преобразовать наш К-й член, чтобы суммировать было легче.
Итак, P
K = 1/N * (N-K)/(N-1)*1/(K+1) = 1/(N*(N-1)) *(N-K)/(K+1) =
= 1/(N*(N-1)) *(N-K+1-1)/(K+1) = 1/(N*(N-1)) *((N+1)-(K+1))/(K+1) =
= 1/(N*(N-1)) *((N+1)/(K+1) - 1)
А это, в свою очередь, тоже можно преобразовать, раскрыв скобки и перегруппировав:
1/(N*(N-1)) *((N+1)/(K+1) - 1) = (N+1)/(N*(N-1))*1/(K+1) - 1/(N*(N-1))
В таком виде просто легче суммировать: надо получить отдельно сумму вычитаемых, затем вычитателей и из первой суммы вычесть вторую.
Сумма вычитателей находится банально просто - сумма N одинаковых членов 1/(N*(N-1)) равна 1/(N-1) - здесь всё просто.
4.2 Теперь - о сумме вычитаемых.
Нам надо получить сумму N последовательных обратных величин от 2 (К = 1) до N+1 (K=N).
При больших N: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/(N+1) стремится к ln(N+1), значит наша сумма стремится к (ln(N+1) - 1)
Таким образом, общая (суммарная) вероятность:
Рс =~ (ln(N+1)-1)*(N+1)/(N*(N-1) - 1/(N-1) ~< lnN/N -> 0.
Значит, вероятность того, что Джо не сядет на своё место с ростом N стремится к нулю, т.е. то, что он сядет на своё место стремится к достоверности.
