Разрезание, шмазрезание...

[Sirion]

Как-то наскучили мне эти ваши разрезательно-построительные задачи, и я решил придумать свою, с блэкджеком и шлюхами более общую. Получилось аж целых два пункта.

1) Дан некоторый многоугольник. Мы провели все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Оказалось, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии многоугольника?

2) Дана произвольная фигура на плоскости, измеримая по Жордану (т.е. имеющая площадь) и замкнутая (т.е., грубо говоря, без отдельно стоящих точек, без "проколотых" точек и прочих извращений). Опять же проводим все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Опять же оказывается, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии нашей фигуры?

[☭-Изделие 20Д]

1) Если взять отрезок в качестве двухугольника, то похоже - причем всех возможных симметрий, для треугольника тоже и даже не эта точка, а думаю все точки лежащие на прямой проходящей через ЭТУ точку

[Sirion]

о_О

[sova]

Как-то наскучили мне эти ваши разрезательно-построительные задачи, и я решил придумать свою, с блэкджеком и шлюхами более общую. Получилось аж целых два пункта.

1) Дан некоторый многоугольник. Мы провели все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Оказалось, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии многоугольника?

2) Дана произвольная фигура на плоскости, измеримая по Жордану (т.е. имеющая площадь) и замкнутая (т.е., грубо говоря, без отдельно стоящих точек, без "проколотых" точек и прочих извращений). Опять же проводим все возможные прямые, делящие его на две равные по площади части. Опять же оказывается, что все эти прямые пересекаются в одной точке. Верно ли, что эта точка - центр симметрии нашей фигуры?

1) не всегда - для параллелограмма не подходит

[Sirion]

вообще-то, для параллелограмма это абсолютно верно

[☭-Изделие 20Д]

вообще-то, для параллелограмма это абсолютно верно

кроме паралеллограмма в ипостаси ромба или наоборот

[moonlight]

первое утверждение верно. пусть это точка O. если она не центр симметрии то через неё можно провести некоторую прямую пересекающую многоугольник в точках A и B так что OA<>OB. проведём ещё одну прямую через O образующую с прямой AB угол dф. разность площадей треугольников dS=(1/2)(OA²-OB²)dф<>0 т.е. одна часть стала больше а другая меньше.

[zhekas]

первое утверждение верно. пусть это точка O. если она не центр симметрии то через неё можно провести некоторую прямую пересекающую многоугольник в точках A и B так что OA<>OB. проведём ещё одну прямую через O образующую с прямой AB угол dф. разность площадей треугольников dS=(1/2)(OA²-OB²)dф<>0 т.е. одна часть стала больше а другая меньше.

даннное док-во можно распросанить на любую выпуклую фигуру

[Sirion]

первое утверждение верно. пусть это точка O. если она не центр симметрии то через неё можно провести некоторую прямую пересекающую многоугольник в точках A и B так что OA<>OB. проведём ещё одну прямую через O образующую с прямой AB угол dф. разность площадей треугольников dS=(1/2)(OA²-OB²)dф<>0 т.е. одна часть стала больше а другая меньше.

Верно, такое доказательство я сам и предполагал. Но потом внезапно вспомнил, что многоугольники бывают невыпуклыми, и точек пересечений может быть больше двух. В общем-то, в данный момент я сам пытаюсь найти полное решение для первого пункта. Со вторым проще.

[☭-Изделие 20Д]

о_О

Не удалось сразу найти тему чтобы исправить, а сейчас раз случайно в ветку занесло побавлю -
конечно же такую симметрию как циклическая поддянуть к этому сложно да и осевую врядли удасться

[Sirion]

контрпример к пункту 1
Показать скрытый текст

соответственно, пункт 2 уже не нужен

[moonlight]

Вот ещё одно простое опровержение (не для многоугольников)
Показать скрытый текст

радиусы окружностей 2.5,  5,  5.5,  7.

[Sirion]

таки да, во втором пункте я придумал нечто в этом духе

[buka]

Сирион, под центром симметрии Вы имеете ввиду центр тяжести?
Дело в том, что для любой фигуры имеется континуум прямых, делящих её на 2 равновеликие части и все эти прямые пересекаются в одной точке, которая и называется центром тяжести

[Sirion]

buka, вообще-то, это неправда. Попробуйте провести через центр тяжести треугольника прямую, параллельную одной из сторон. Нетрудно понять, что площади отрезанных треугольника и четырёхугольника относятся как 4 к 5.

P.S. Пожалуйста, не пугайте меня так больше. Я успел усомниться в здравости своего рассудка =)