олимпиада по математике 8 класс

[ГИМНАЗИСТ]

Доказать, что 48^n - 2*6^n + 13^n делится на 7 при любом значении n.

[pentium4]

Офигенчик ты олимпиады решаешь.

[BIVES]

n=1 верно 48-12+13=49 делится на 7.
Пусть верно для n-1,   т.е. 48^n-1-2*6^n-1+13^n-1=7k  докажем, что верно для n
48ⁿ-2*6ⁿ+13ⁿ=48*48^n-1-12*6^n-1+13*13^n-1=
=6(48^n-1-2*6^n-1+13^n-1)+42*48^n-1+7*13^n-1=
=6*7k+7*(6*48^n-1+13^n-1).
Полученое число делится на 7 по индуктивному предположению.