олимпиада 8 класс

[ГИМНАЗИСТ]

Доказать, что в прямоугольном треугольнике, острый угол которого равен 15 градусов, площадь в восемь раз меньше, чем квадрат гипотенузы.

[BIVES]

Тут надо найти sin(15) и cos(15).
sin(30)=1/2=2*sin(15)*cos(15)
cos(30)=3^1/2/2=2cos²(15)-1
Значит, cos(15)=(2+3^1/2)^1/2/2,
sin(15)=1/2*1/(2+3^1/2)^1/2.
Пусть гипотенуза равна c, тогда противолежащий углу 15 катет равен
а=c*1/2*1/(2+3^1/2)^1/2, прилежащий
b=c*(2+3^1/2)^1/2/2.
Площадь равна
ab/2=c²/8.

[moonlight]

проще сложить 2 треугольника.
2S₁=S₂=(1/2)c²sin(2*15^o)=(1/4)c².