Мои любимые пятиугольники.

[Sirion]

Существует ли пятиугольник, каждая диагональ которого разбивается пересекающими её диагоналями на три равных отрезка?

[Муслим]

3вездошка в знаке какчества?

[Sirion]

Ну-ну.

[zhekas]

нет не могут.

[moonlight]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//
если AC=CE и BC=CD то ABED - параллелограмм.

[Sirion]

Таки да. А вот более интересная задача: если все диагонали пятиугольника делятся в одинаковом отношении, может ли оно быть иным, нежели 1:ф:1?

[moonlight]

таких пятиугольников не существует, есть с соотношением 1:(1/ф):1 

Показать скрытый текст

пусть есть некоторый пятиугольник все диагонали которого делятся в отношении 1:f:1.
выберем какую-нибудь диагональ и спроецируем пятиугольник на непараллельную ему плоскость так чтобы проекции диагоналей, пересекающих выбранную диагональ оказались равными. все отношения длин отрезков диагоналей при этом сохраняется. получим пятиугольник с осевой симметрией.
//текст доступен после регистрации//
ну и далее вычисляем f:

(f/2)/p=r/(fp+p)
r=f(f+1)/2

(r+f/2)/(r+f+1)=q/(2q+fq)=1/(2+f)
(2+f)(f(f+1)/2+f/2)=(f(f+1)/2+f+1)
f(f+2)²=f²+3f+2=(f+2)(f+1)
f²+f-1=0
f=(sqrt(5)-1)/2=1/ф
 

[Sirion]

таких пятиугольников не существует, есть с соотношением 1:(1/ф):1 

пардон) в литературе, которую я курил в школьные годы, золотое сечение обозначалось фи большим, а обратное ему - фи маленьким
привык как-то

а вообще - хорошее решение
я решал в общем виде, для n-угольника, с применением адской линейной алгебры, матрицами преобразований и т.п.