Модули

[fortpost]

Найдите наименьшее число вида
а) |11^m−5ⁿ|;
б) |36^m−5ⁿ|;
в) |53^m−37ⁿ|, где m и n — натуральные числа.

[Overseer]

Найдите наименьшее число вида
а) |11^m−5ⁿ|;
б) |36^m−5ⁿ|;
в) |53^m−37ⁿ|, где m и n — натуральные числа.

а логарифмы можно юзать?

[fortpost]

Конечно, можно!

[Overseer]

тогда первые 2 решаются тупо:
Показать скрытый текст

1. 0 (m = log(11)X, n = log(5)X, при любом X)
аналогично для второго :/

а 3 голова сейчас не думает

[iPhonograph]

а)
Показать скрытый текст

11^m−5ⁿ = 10*k+6
поэтому модуль будет не менее 4
минимум достигается при
11²−5³ = -4

[Overseer]

касаемо 3, можно только сказать Показать скрытый текст

что это значение 2, но m и n попозже посчитаю (yawn)

[Overseer]

а)
Показать скрытый текст

11^m−5ⁿ = 10*k+6
поэтому модуль будет не менее 4
минимум достигается при
11²−5³ = -4

насколько я понял, натуральными m и n должны быть только в 3 случае

[Overseer]

неожиданно: Показать скрытый текст

для первых двух: n = 0, m = 0 ;DD

наверное все таки натуральными должны быть для всех случаев

[iPhonograph]

б)
Показать скрытый текст

36^m−5ⁿ = 10*k+1
+1 быть не может из-за того, что 36^m-1 делится на 7
-9 быть не может из-за того, что 36^m+9 делится на 3
значит, минимум модуля = 11
достигается при 36-25

[zhekas]

б) 36^m mod 100 принимает значения:

36, 96, 56, 16, 76

5^n mod 100 принимает значение 25 (кроме 5^1)

тогда разность по модулю 100 равна
11 (-89), 71 (-29), 31(-69), 91 (-9), 51 (-49)

Наименьшие разности по модулю: 11 и -9
36^1 - 5^2 =11

А вот -9 не будет, так как 36^m - 5^n не делится на 3

[fortpost]

тогда первые 2 решаются тупо:
Показать скрытый текст

1. 0 (m = log(11)X, n = log(5)X, при любом X)
аналогично для второго :/

а 3 голова сейчас не думает

А как же условие, что m и n натуральные?

[fortpost]

iPhonograph, zhekas  = и это правильно.

[iPhonograph]

в)
Показать скрытый текст

53^m−37ⁿ = 18*k + (-1)^m - 1
-2 не может быть, потому что (53^m mod 37) принимает значения 16, 34, 26, 9, 33, 10, 12, 7, 1, среди которых нет 35 (как это доказать проще??)
значит, минимум 16
достигается при 53-37

[zhekas]

в)
Показать скрытый текст

-2 не может быть, потому что (53^m mod 37) принимает значения 16, 34, 26, 9, 33, 10, 12, 7, 1, среди которых нет 35 (как это доказать проще??)

-2 не может, так как 53^m-37^n делится на 4

[fortpost]

И опять правильно!