Первые цифры

[fortpost]

Найдите первые 1963 цифры после запятой в десятичной записи числа (√26 + 5)¹⁹⁶³.

[moonlight]

Показать скрытый текст

если числа p,q,n такие что p²n-q²=1, то для всякого k если [p*sqrt(n)+q]^k=p_ksqrt(n)+q_k также будет p_k²n-q_k²=1. это можно доказать по индукции.
отсюда если немного подумать получается ответ - все 0.

[fortpost]

Показать скрытый текст

если числа p,q,n такие что p²n-q²=1, то для всякого k если [p*sqrt(n)+q]^k=p_ksqrt(n)+q_k также будет p_k²n-q_k²=1. это можно доказать по индукции.
отсюда если немного подумать получается ответ - все 0.

Абсолютно все!

[BIVES]

Можно так решить.
Из бинома Ньтона следует, что
(√26+5 )¹⁹⁶³-(√26-5 )¹⁹⁶³=натуральное число.
Поэтому все цифры после запятой числа (√26+5 )¹⁹⁶³ совпадают с цифрами после запятой
числа (√26-5 )¹⁹⁶³.
А так как (√26-5 )<0,1, то в числе (√26-5 )¹⁹⁶³ первые 1963 цифры после запятой нули.

Кстати, у числа (√26+5 )²⁰¹² первые 2012 цифр после запятой девятки, потому что
(√26+5 )²⁰¹²+(√26-5 )²⁰¹²=натуральное число. 

[fortpost]

Тоже правильно!

[moonlight]

да я здесь немного наврал: числа вида [sqrt(n²+1)+n]^k будут попеременно то чуть больше целого то чуть меньше, а вот числа [sqrt(n²-1)+n]^k всегда будут меньше - например у числа [sqrt(24)+5]^k дробная часть всегда будет начинаться с серии девяток.