Бесплатный сыр...

[fortpost]

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

[Sirion]

Конечно! =)

[fortpost]

Конечно! =)

Да, а как?

[Sirion]

выложим их в рядок, возьмём плоскость и будем её передвигать, пока масса сыра по обе стороны не уравновесится (что случится в силу непрерывности)
плоскость будет проходить либо между кусками, либо через один из них

[fortpost]

выложим их в рядок, возьмём плоскость и будем её передвигать, пока масса сыра по обе стороны не уравновесится (что случится в силу непрерывности)
плоскость будет проходить либо между кусками, либо через один из них

А если не по 5 кусков получится?

[BIVES]

выложим их в рядок, возьмём плоскость и будем её передвигать, пока масса сыра по обе стороны не уравновесится (что случится в силу непрерывности)
плоскость будет проходить либо между кусками, либо через один из них

А если не по 5 кусков получится?

Это может быть если он дырявый с хитрыми дырками. 

[fyorling]

для задачки

[kinder]

плоскость нужна только для объяснения возможности так сделать, а в реальности можно распилить сыр в мелкую лапшу и только потом сделать один точный разрез

[Sirion]

выложим их в рядок, возьмём плоскость и будем её передвигать, пока масса сыра по обе стороны не уравновесится (что случится в силу непрерывности)
плоскость будет проходить либо между кусками, либо через один из них

А если не по 5 кусков получится?

ну, как справедливо подмечено, важна лишь пропорция, в которой  кусок режется плоскостью
то, что мы можем разделить связное измеримое множество на два связных измеримых множества, чьи меры находятся в заданном отношении - факт не вполне тривиальный, но я не думаю, что его доказательство входит в содержание задачи

если же кусков получилось менее десяти (плоскость оказалась между двух кусков) - разрежем произвольный кусок произвольны образом тупо ради количества

[fortpost]

Sirion, ваш способ гарантирует равенство масс, но не равенство количества кусков. Нам необходимо получить соотношение 5/5, а может получиться 4/6, 3/7, 2/8, 1/9. 

[BIVES]

Sirion, ваш способ гарантирует равенство масс, но не равенство количества кусков. Нам необходимо получить соотношение 5/5, а может получиться 4/6, 3/7, 2/8, 1/9. 

Значит, надо просто немного доработать решение Siriona.
Поступаем так занумеруем куски по возрастанию массы от 1 до 9. Выкладываем куски сыра в рядок следующим образом:
135798642 далее делая так как предложил Sirion мы гарантируем, что разрез пройдет по куску сыра сномером 9.

[fortpost]

Sirion, ваш способ гарантирует равенство масс, но не равенство количества кусков. Нам необходимо получить соотношение 5/5, а может получиться 4/6, 3/7, 2/8, 1/9. 

Значит, надо просто немного доработать решение Siriona.
Поступаем так занумеруем куски по возрастанию массы от 1 до 9. Выкладываем куски сыра в рядок следующим образом:
135798642 далее делая так как предложил Sirion мы гарантируем, что разрез пройдет по куску сыра сномером 9.

А так, пожалуй, выйдет! 

[buka]

Лучше имхо последовательность: 145897632

[moonlight]

куски сыра заменяем отрезками с длинами соответствующими весу этих кусков. составляем из них отрезок AB. M - середина AB. если M находится внутри одного из отрезков то задача решена. если она общая точка двух отрезков то если эти отрезки не равны переставляем их, если равны то

так как на отрезках AM и MB разное число отрезков(например их больше на AM), то самый короткий из отрезков внутри AM(отрезок 1) будет короче самого длинного из отрезков внутри MB(2). Внутри AM и MB переставляем отрезки так чтобы  1 и 2 имели общую точку - M. и переставляем их(1 и 2)между собой.