Два жадных медвежонка

[fortpost]

Два жадных медвежонка нашли килограммовую головку сыра и попросили лису поделить ее поровну. Лиса сначала разломила сыр на две неравные части, а затем откусила половину от одной из этих частей (не обязательно большей). Поскольку части все еще остались неравными, лиса снова откусила от одной из частей половину, и так далее. Лишь после десятого откусывания части сравнялись, но на долю медвежат досталось меньше 20 граммов сыра. Обиженные медвежата потом жаловались, что части можно было бы уравнять, откусывая по половине от некоторой части не более трех раз(а вовсе не десять!). Правы ли они?

[mayer]

Показать скрытый текст

Да.Достаточно первую часть положить на вторую.и откусить соотвественно. А вообще нефиг лисиц кормить когда сам жрать хочешь.

[fortpost]

Показать скрытый текст

Да.Достаточно первую часть положить на вторую.и откусить соотвественно. А вообще нефиг лисиц кормить когда сам жрать хочешь.

Откусывать можно только от одной части за раз. А сказку такую не читали в детстве?

[BIVES]

Если я правильно понял условие, то они неправы.
Если лисица изначально разделила сыр на куски
1000*2¹⁰/(2¹⁰+1) и 1000/(2¹⁰+1) грамм, то чтобы их уравнять придется 10 раз откусывать по половине от первого куска.

[fortpost]

Если я правильно понял условие, то они неправы.
Если лисица изначально разделила сыр на куски
1000*2¹⁰/(2¹⁰+1) и 1000/(2¹⁰+1) грамм, то чтобы их уравнять придется 10 раз откусывать по половине от первого куска.

Да, вы правы - медвежата неправы.
А полное решение такое.
Показать скрытый текст

Пусть каждому медвежонку в конечном итоге досталось m граммов сыра. Так как после каждого откусывания масса куска уменьшается в 2 раза, то лиса не могла от каждого куска откусить одинаковое число раз (по 5), так как в этом случае начальные массы кусков также были бы равны, что противоречит условию. Поэтому пусть от первого куска лиса откусила n раз (0 <= n <= 4), а от второго - остальные 10 - n раз. Тогда первоначальные массы кусков были равны m2ⁿ и m2^10-n.
Допустим, медвежата правы, и уравнять массу частей можно за k откусываний, где 1 <= k <= 3 . Так как n <= 4, то масса первого куска меньше, чем второго, и для уравнивания надо от второго куска откусить больше раз, чем от первого, т.е. больше k/2 раз. Итак, пусть от второго куска при уравнивании надо откусить р раз, причем k/2 < р <= k <= 3. Тогда от первого куска следует откусить k — р раз. В результате массы кусков станут равны m2^n-(k-р) и m2^10-n-р, а поскольку они сравняются между собой, то n - (k -р) = 10 - n - р, откуда k=2(n+p-5),
т.е. k - четное число. Но 1 <= k <= 3, следовательно, k = 2. Далее, так как k/2 < р <= k, то р = 2. Поэтому 2 = 2(n+2-5), и n = 4.
Таким образом, первоначальные массы частей равны m2⁴ = 16m и m2^10-4 = 64m. В сумме это составляет 1 кг, или 1000 г, поэтому 16m + 64m = 1000, откуда m = 12,5 г. Окончательная же масса обеих частей равна 12,5 х 2 = 25 г, что противоречит условию, согласно которому на долю медвежат досталось меньше 20 г сыра. Следовательно, медвежата неправы.
Правомерен вопрос: а возможно ли вообще, чтобы после десятого откусывания медвежатам досталось меньше 20 г сыра? Оказывается, да. Простейший пример: лиса разламывает сыр на части, массы которых соотносятся как 1:1024, а затем 10 раз откусывает от большей части. В результате массы кусков уравниваются, но в каждом из них будет меньше грамма! Возможны и другие, менее грабительские, варианты.