a и b - делители

[fortpost]

Найдите σ(a+2b) , если a и b — такие натуральные числа, что σ(a) = b и σ(b) = a/2, а σ(n) обозначает количество натуральных делителей числа n.

[kiwi]

у меня выходит, что независимо от а и в будет 4...

[fortpost]

у меня выходит, что независимо от а и в будет 4...

Почему так? Поясните.

[BIVES]

σ(n)<=n,  значит,  b>=а/2.
а - четное (а/2 - целое).
Поэтому b=σ(а)<=2+σ(а/2)<=2+а/2.
Имеем а/2<=b<=2+a/2.
При а>=14 σ(b)<b-2<=a/2 (для b>=7 числа b/(b-1),  b/(b-2), b/(b-3) меньше 2 и больше 1, поэтому делителей меньше чем b-2).
Значит, а может быть равно 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Перебором получим, что подходят а=4, b=3; a=6, b=4.
Для этих пар   σ(a+2b)=4.

[kiwi]

вот, у меня не выходило толково объяснить

[fortpost]

σ(n)<=n,  значит,  b>=а/2.
а - четное (а/2 - целое).
Поэтому b=σ(а)<=2+σ(а/2)<=2+а/2.
Имеем а/2<=b<=2+a/2.
При а>=14 σ(b)<b-2<=a/2 (для b>=7 числа b/(b-1),  b/(b-2), b(b-3) меньше 1 поэтому делителей меньше чем b-2).
Значит, а может быть равно 2, 4, 6, 8, 10, 12.
Перебором получим, что подходят а=4, b=3; a=6, b=4.
Для этих пар   σ(a+2b)=4.

Таки да!

[iPhonograph]

а - четное (а/2 - целое).
Поэтому σ(а)<=2+σ(а/2)

это неверно
пример: a=18
σ(а)=6
σ(а/2)=3

[BIVES]

а - четное (а/2 - целое).
Поэтому σ(а)<=2+σ(а/2)

это неверно
пример: a=18
σ(а)=6
σ(а/2)=3

Да, протупил.
[ ] - целая часть числа, { } - дробная часть числа.
Тогда так
σ(n)<=1+[n/2] (так как n может делиться только на числа <=n/2 и на само себя).
σ(b)=a/2<=[(1+a/2)/2]+1
Неравенство a/2<=[(1+a/2)/2]+1 эквивалентно неравенству
а/4-3/2+{(1+a/2)/2}<=0, а оно не имеет решений при а>6.
Значит, осталось проверить четные а меньшие либо равные 6.

[iPhonograph]

a/2<=[(1+a/2)/2]+1

опять неверно
опять а=18

[BIVES]

А что неверно.
а=18
а/2=9>[(1+9)/2]+1=6.
т. е. 18 не является решением неравенства a/2<=[(1+a/2)/2]+1.

[iPhonograph]

непонятно, откуда получено это неравенство

[BIVES]

Из σ(n)<=1+[n/2] следует
b=σ(a)<=1+a/2
Поэтому применяя еще раз верхнее неравенство получим σ(σ(a))<=[(1+a/2)/2]+1.

[iPhonograph]

теперь понял