Про орехи и не только

[moonlight]

f(х)=х³/(3х²-3х+1)
Вычислить значение суммы   f(1/2012)+f(2/2012)+...+f(2012/2012).

Показать скрытый текст

f(i/n)+f(1-i/n)=1, i=0,...,n.

[kiwi]

Найдите все определённые на всей числовой прямой функции f , которые приобретают действительные значения, и такие, что для любых действительных x , y и z:
f(xy)+f(xz)>=f(x)f(yz)+1

[fortpost]

f(х)=х³/(3х²-3х+1)
Вычислить значение суммы   f(1/2012)+f(2/2012)+...+f(2012/2012).

Показать скрытый текст

f(i/n)+f(1-i/n)=1, i=0,...,n.

Вон оно как просто, оказывается! А я тупо на компе посчитал.

[kiwi]

А я тупо на компе посчитал.

Ай-яй-яй

[moonlight]

f(xy)+f(xz)>=f(x)f(yz)+1

Показать скрытый текст

x=y=z=0
2f(0)>=f(0)²+1
f(0)=1

x=y=z=1
2f(1)>=f(1)²+1
f(1)=1

x=0
2f(0)>=f(0)f(yz)+1
2>=f(yz)+1
f(yz)<=1 или f(x)<=1

y=z=1
2f(x)>=f(x)+1
f(x)>=1

f(x)=1.

[kiwi]

Найти все натуральные n, для которых числа n+5 и 9n+28 являются точными квадратами натуральных чисел.

[семеныч]

4

[moonlight]

Показать скрытый текст

n+5=p²
9n+28=9(p²-5)+28=(3p)²-17=q²
17=(3p)²-q²=(3p-q)(3p+q)=1*17
p=3 q=8 n=4

[kiwi]

Допустим, есть такое р, что числа р²+4, 3р²-2 и 2р²-1  - простые. Докажите, что р- составное.

[iPhonograph]

Допустим, есть такое р, что числа р²+4, 3р²-2 и 2р²-1  - простые. Докажите, что р- сложеное.

этакак?

[kiwi]

Извините, составное, я думала, что так же переводится

[moonlight]

Показать скрытый текст

если p = 5 то 2р²-1 = 49 - составное.

для всех остальных p:
если p = 5n-1 или 5n+1 то р²+4  = 5m
если p = 5n-2 или 5n+2 то 3р²-2 = 5m.

[kiwi]

Пускай р(n)- произведение цифр натурального числа n. Найти такое n, что выполняется равенство   10p(n)=n²+4n-2005.

[iPhonograph]

баба ягодка опять

[fortpost]

n=45; 10∙4∙5=200; 45²+4∙45-2005=200