Парадокс Бертрана

[Sirion]

Немного копипасты из Википедии для тех, кто  не знаком с этим няшным парадоксом.

Показать скрытый текст

Парадокс Бертрана заключается в следующем: рассмотрим равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Наудачу выбирается хорда окружности. Какова вероятность того, что выбранная хорда длиннее стороны треугольника?

Бертран предложил три решения, очевидно верных, но дающих различный результат.

    Метод «случайного радиуса»: зафиксируем радиус окружности, наудачу выберем точку на радиусе. Построим хорду, перпендикулярную зафиксированному радиусу, проходящую через выбранную точку. Для нахождения искомой вероятности, представим, что треугольник повернут так, что одна из его сторон перпендикулярна зафиксированному радиусу. Хорда длиннее стороны треугольника, если ее центр ближе к центру, чем точка пересечения треугольника с зафиксированным радиусом. Сторона треугольника делит пополам радиус, следовательно вероятность выбрать хорду длиннее стороны треугольника 1/2.

    Метод «случайных концов»: наудачу выберем две точки на окружности и проведем через них хорду. Чтобы посчитать искомую вероятность, представим, что треугольник повернут так, что одна из его вершин совпадает с концом хорды. Заметим, что если другой конец хорды лежит на меньшей дуге между двумя другими вершинами треугольника, то длина хорды больше стороны треугольника. Длина рассмотренной дуги равна трети длины окружности, следуя классическому определению, искомая вероятность равна 1/3.
   
    Метод «случайного центра»: выберем наудачу произвольную точку внутри круга и построим хорду с центром в выбранной точке. Хорда длиннее стороны равностороннего треугольника, если выбранная точка находится внутри круга, вписанного в треугольник. Площадь вписанного круга есть 1/4 от площади большего, значит исходная вероятность равна 1/4.

Задачи как таковой здесь нет. Есть тема для исследования: какие ещё результаты мы сможем получить, определяя "случайную хорду" другими (логичными) способами? В частности, сможем ли мы продолжить ряд и найти такое определение случайной хорды, чтобы вероятность оказалась равна 1/5?

[Sirion]

Начну, пожалуй, я.

Возьмём случайную точку на окружности, другую случайную точку внутри. Проведём через них хорду. Нетрудно посчитать, что вероятность будет 1/3 + (3^0.5)/2п

Возьмём случайную точку, проведём через неё хорду в случайном направлении.  Вероятность будет... точно такой же.

[Seamew]

я не поняла  Метод «случайного радиуса», можно картинку??

[Sirion]

Можно. В Википедии она есть.

[BIVES]

А давайте познакомим Бертрана с Бернули  . Будем находить вероятность следующим образом.
Подбрасываем 2 симметричные монеты, если ОО, то вычисляем по методу "случайных концов", если ОР или РО, то вычисляем по методу "случайного радиуса", если РР, то вычисляем по методу "случайного центра".
В этом случае искомая вероятность равна
1/4*1/3+1/2*1/2+1/4*1/4=19/48

[moonlight]

Возьмём 2 случайные точки внутри окружности. В этом случае вероятность равна  0,74683000489967737046682820706806.

[moonlight]

Показать скрытый текст

//текст доступен после регистрации//

[BIVES]

По видимому придумать как логично получить вероятность меньше чем в методе "случайного центра" весьма сложно, так как иначе этот метод можно сформулировать следующим образом:
выбираем наудачу произвольную точку внутри круга и строим хорду минимальной длины, проходящую через эту точку.

Я придумал как получить вероятность 5^-1/2 (правда не знаю на сколько этот способ логичен  ).
Метод "второго равностороннего треугольника".
Поступим следующим образом: впишем нашу окружность в равносторонний треугольник, зафиксируем одну из вершин этого треугольника, выберем наудачу точку на стороне, лежащей напротив этой вершины. Соединим вершину и выбранную точку отрезком (этот отрезок пересечет круг по некоторой хорде, которая с вероятностью 5^-1/2 будет больше стороны вписанного в окружность равностороннего треугольника).