Олимпиада

[sexbomb]

1. Является ли число 6(в степени 2013)+ 1 составным?
2. В треугольнике АВС сторона АВ=2, угол А равен 60 градусов, угол В равен 70 градусов.  На стороне АС взята точка Д такая, что АД=1. Найти углы треугольника ДВС.

[fortpost]

1. 6²⁰¹³+1=(6⁶⁷¹)³+1=(6⁶⁷¹+1)((6⁶⁷¹)²-6⁶⁷¹+1) - составное

[Smith]

с углами тоже не представляется проблем: есть две стороны, соотносимые как 2:1 и угол между ними в 60 градусов. найти углы АБД и ДБА, а также размер отрезка БД, полагаю, не составит труда, так что угол Д уже найден априори.

[sexbomb]

с углами тоже не представляется проблем: есть две стороны, соотносимые как 2:1 и угол между ними в 60 градусов. найти углы АБД и ДБА, а также размер отрезка БД, полагаю, не составит труда, так что угол Д уже найден априори.

  Интересно посмотреть ваше решение.

[fortpost]

2. Т.к. AD:AB=1:2, то угол D=90º, поскольку катет, прилегающий к углу 60º, равен половине гипотенузы. Тогда угол DBC=70º-30º=40º и угол C=180º-90º-40º=50º

[sexbomb]

Спасибо! Ещё 2 задания:

[MU]

7. Домножим и разделим каждую дробь на сопряженное, тоесть, например, 1/(1+к2) (к2=корень из двух) домножим и разделим на (к2-1), получим (к2-1)/1=(к2-1). Таким образом каждая дробь вида 1/(кN+к(N+1)) представима в виде (к(N+1)-кN).
Тоесть нужно подсчитать сумму
-1+к2-к2+к3-...-к2008+к2009=к2009-1

[fortpost]

2)   9,876³-27     (9,876-3)(9,876²+3∙9,876+9)     9,876²+3∙9,876+9
    ───────── = ───────────────────── = ──────────────
    9,876∙6,876               9,876(9,876-3)                           9,876


 9,876²+3∙9,876+9                 9,876²+3∙9,876+9 - 9,876²   3∙9,876+9
────────────── - 9,876 = ─────────────────── = ────────
         9,876                                          9,876                             9,876


12,876²    3∙9,876+9     (9,876+3)²     9,876+3
───── : ──────── = ───────── = ────── = 3,292+1
 9,876        9,876          3∙(9,876+3)          3

3,292+1-3,292=1

[sexbomb]

Число P(n) является произведением цифр числа n.
Вычислите:
P(1000)+P(1001)+P(1002)+...+P(2012)

[BIVES]

P(1000)+...P(1110)=0

P(1111)+...+P(1119)=9*(1+9)/2=45
P(1121)+...+P(1129)=2*45
                   
               и.т.д.

P(1191)+...+P(1199)=9*45
Всего 45+2*45+3*45+...+9*45=45(1+...+9)=45*45

P(1200)+...P(1210)=0
P(1211)+...+P(1299)=2*45*45

P(1300)+...P(1310)=0
P(1311)+...+P(1399)=3*45*45
                    и.т.д.
P(1900)+...P(1910)=0
P(1911)+...+P(1999)=9*45*45

P(2000)+...P(2012)=0

Итого: 45*45+2*45*45+...+9*45*45=45*45*(1+...+9)=45³.

[sexbomb]

2. Теплоход прошел путь от А до В по течению за 3 часа. Обратный путь занял у него 4 часа. За сколько часов пройдет расстояние от А до В плот?
3. Решите уравнение: 2x(2)+y(2)+2xy+2x-3=0
4. Число "а" не равно 0 и является одним из корней уравнения: -5x+bc-10=0. Выразите через "а" корни уравнения:          -10x+bc-5=0.
5. На районной олимпиаде по математике 6 задач. За решенную задачу начисляется 10 баллов, а за нерешенную отнимается 3. В следующий тур проходят дети, набравшие больше 30 баллов. Сколько задач нужно решить, чтобы пройти в следующий тур?

[IrK]

2. V - скорость теплохода, V1 - скорость течения
S/(V+V1)=3
S/(V-V1)=4
S=3(V+V1)=4(V-V1)
V=7V1
S=3(7V1+V1)=24V1
T=S/V1=24V1/V1=24
Плот пройдет за 24 часа

[IrK]

5. Четыре задачи

[sexbomb]

1. Существует ли 2012 целых чисел произведение которых равно двум, а сумма равна 0?
2. Мистер Твистер хочет купить завод, газету и пароход. Если он купит только завод, то у него останется 3 млн. долларов. Если он купит только пароход, то у него останется 4 млн. долларов. Если же он купит только газету, то у него останется 8 млн. долларов. Хватит ли денег Мистера Твистера, чтобы купить одновременно завод, газету и пароход?
3. Числа х1, х2, х3,..., х2012 принадлежат промежутку [0;1]. Доказать неравенство:
(x1 умножить на х2 умножить на х3 ... умножить на х2012) + (1-х1)(1-х2)(1-х3)...(1-х2012) меньше или равно 1.
При каких значениях х1, х2, х3, ... , х2012 может достигаться равенство?
4. Даны 10 точек, являющихся вершинами выпуклого десятиугольника. Какое наибольшее число треугольников с вершинами в этих точках можно выбрать таким образом, чтобы каждый треугольник имел сторону, не являющуюся стороной других выбранных треугольников?

[fortpost]

1. Не существует.
2. Не хватит.