2) Итак у нас есть правильная пирамида SABCD с основанием ABCD и вершиной S
V=1/3*S_{осн}*h
S_{осн}=A^2 осталось найти высоту
в треугольнике ASB из точки A проведём высоту на сторону SB. Аналогично в треугольнике BSC из точки C проведём высоту на сторону SB. Эти две высота будут пересекать сторону SB в одной точке H. По определению двугранного угла, угол между гранями ASB и BSC равен
<AHC, то есть <AHC=a (алфа).
Рассмотрим треугольник AHC. это равнобедренный треугольник то есть AH=HC. Найдём AH
по теореме косинусов
AC^2=AH^2+CH^2 - 2AH*CH*cos(<AHC)
AC^2=2AH^2 - 2AH^2*cos(a)
AH^2=AC^2/(2-2cos(a))=AC^2/(4(sin(a/2))^2)
AH=AC/(2sin(a/2))=A*sqrt(2)/(2sin(a/2))
теперь. В треугольнике AHB мы можем найти sin(<ABH)
sin(<ABH)=AH/AB=[A*sqrt(2)/(2sin(a/2))]/A=sqrt(2)/(2sin(a/2))
cos(<ABH)=sqrt(4(sin(a/2))^2-2)/(2sin(a/2))
Пусть SK - высота треугольника ASB в треугольнике KSB мы можем найти SB
cos(<KBS)=KB/BS
BS=KB/cos(<KBS)=(A/2)/[sqrt(4(sin(a/2))^2-2)/(2sin(a/2))]=Asin(a/2)/sqrt(4(sin(a/2))^2-2)
ну и последний штрих. Пусть SO высота пирамиды. точка O - 'это центр квадрата основания.
В прямоугольном треугольнике SOB зная гипотенузу SB и катет OB=Asqrt(2)/2 найдём второй катет SO
SO^2=SB^2 - OB^2
SO^2=A^2(sin(a/2))^2/(4(sin(a/2))^2-2) -A^2*1/2=
A^2*( ((sin(a/2))^2 - 2(sin(a/2))^2 +1) /(4(sin(a/2))^2-2) )=
A^2*( (1 - (sin(a/2))^2 ) /(4(sin(a/2))^2-2) )=
A^2*( (cos(a/2))^2/(4(sin(a/2))^2-2) )
SO=A*cos(a/2)/sqrt(4(sin(a/2))^2-2)
V=(1/3)*A^2*A*cos(a/2)/sqrt(4(sin(a/2))^2-2)=(1/3)*A^3*cos(a/2)/sqrt(4(sin(a/2))^2-2)
