простенькие

[пестерь]

Существует ли такое натуральное число n, что числа n, n², n³, ... , n²⁰¹⁵ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?

Существует ли такое натуральное число n, что числа n, n², n³, ... , n²⁰¹⁵ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?

думаю Показать скрытый текст

нужно найти количество девяток в числе 9999...9

[vlad]

5-ти штук хватит с лихвой.

[пестерь]

5-ти штук хватит с лихвой.

а если найти минимальное колтчество и доказать что оно минимально? или в общем виде для n^m.
например, для 9 это 9^1
для 99 это 99^10 и тд

[vlad]

Задача была поставлена "есть, или нет?"
вычисление или доказательство минимального уже потруднее.
думаю Фортпост будет знать.



максимум чем влад может служить:
для 9 это 1
для 99 - 10
для 999 - 105
для 9999 -

[fortpost]

Ну так что, доказательство-то выложить? Или есть желание самим поискать?

[vlad]

А если кто попросит доказательство, то можно в личку?:
а то лично влад не содержится, и глянет под спойлер;
хочется ещё с биномами поиграться.

[vlad]

Вот если б были на Назве hide() не по количеству постов, а по отдельным юзерам...

не плохая идея, согласитесь?

[семеныч]

а что б число было покрасивше типа

987654321 - для 8

[семеныч]

998877665544332211 - для 91

[семеныч]

вообще решение и лежало на поверхности
0.999999 это и есть 1

[пестерь]

если ноль натуральное число, то это ноль, вика со мной согласна

[vlad]

...но тут пришёл Семёныч,...

[zhekas]

Показать скрытый текст

Итак наше число k = 10^m - 1

Условие
(10^m-1)^2015 >= 9* 10^{2015m-1}

(10^m-1)^2015 >= 9/10* 10^{2015m}

10^m-1 >= (9/10)^{1/2015} * 10^m

Отсюда

10^m >= 1/(1 - (9/10)^{1/2015})

m >= lg (1/(1 - (9/10)^{1/2015}))

[fortpost]

Существует ли число, которое делится ровно на 50 чисел из набора 1, 2, ..., 100?

[vlad]

Показать скрытый текст

на моём калькуляторе выходит минимальное 720720.
делители: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18,20,21,22,24,26,28,30,33,35,36,39,40,42,44,45,48,52,55,56,60,63,65,66,70,72,77,78,80,84,88,90,91,99.