Страниц: 1 ... 29 30 [31] 32 33 34
  Печать  
Автор Тема: Парадокс двух конвертов  (Прочитано 126707 раз)
0 Пользователей и 1 Гость смотрят эту тему.

Вам предлагаются два конверта с деньгами (взвешивать, ощупывать и просвечивать их, понятно, нельзя). Вы знаете только, что в одном из них содержится сумма ровно вдвое большая, чем во втором, но в каком и какие именно суммы — совершенно неизвестно. Вам позволено открыть любой конверт на выбор и взглянуть на деньги в нём. После чего вы должны выбрать — взять себе этот конверт или обменять его на второй (но уже не глядя на содержимое второго конверта).

Вопрос — как вам поступить, чтобы выиграть (то есть получить большую сумму денег)? Кажется, что шанс на выигрыш и проигрыш всегда одинаков (50%) вне зависимости от того, оставите ли вы себе открытый конверт или возьмёте вместо него второй. Ведь вероятность нахождения большей суммы в конверте A изначально такая же, как вероятность, что более внушительные деньги лежат в конверте B. И открытие одного из конвертов (A) ничего не говорит вам о том — видите вы наибольшую или наименьшую сумму из двух предложенных. Однако математическое ожидание средней "стоимости" второго конверта говорит об ином.

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.

И этот результат не зависит от первоначальной суммы денег. Ведь в разных раундах могут использоваться разные пары (10 и 20, 120 и 60, 20 и 40, 120 и 240 и так далее). То есть в общем виде, если в конверте А лежит сумма С, то статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 0,5 х С/2 + 0,5 х 2С = 5/4 С.

Таким образом, теория говорит, всегда выгодно менять первоначальный свой выбор (12,5 больше 10), хотя в отдельных раундах вы будете проигрывать. Но против такого вывода восстаёт интуиция, которая просто кричит о принципиальном равенстве конвертов. Ведь поменяв их вы можете начать все рассуждения сначала (не открывая второй) и поменять снова.

В этом, собственно, и заключается "парадокс". Интересно было бы услышать мнение форумчан по этому поводу.

Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #450 : Сентябрь 08, 2015, 09:01:04 �


Если учитывать нижнюю границу (она же не нуль), наверное, можно получить результаты по-лучше.
щас не понял, можно подробнее, плз?  Тормоз

зы: 5 лет, это конечно срок  Laugh
Мы учитываем только верхнюю границу.
Допустим из сумм (200, 250, 420, 350, 500) по нашим предположениям она равна 1000.
Теперь рассматриваем диапазон 0 - 1000 и меняем, если [0 - 750] (ну если уж берём стратегию "0.75")

Ну а если теперь сделать предположение о нижней возможной границе (минимальной сумме), ведь она больше нуля по условиям, то по нашим предположениям она равна 100.

И подкорректировав диапазон получим 100-1000  =>  Если сумма меньше 775, то меняем
Показать скрытый текст
Записан
Smith
Из мудрейших мудрейший
**
Offline Offline

Сообщений: 2950

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 286
-вас поблагодарили: 305


PeAcE


Просмотр профиля
Ответ #451 : Сентябрь 08, 2015, 09:19:00 �


И подкорректировав диапазон получим 100-1000  =>  Если сумма меньше 775, то меняем
Показать скрытый текст


а, теперь я понял твою мысль, вполне корректно попытаться учесть нижнюю границу, только пока не понимаю как это повлияет на результат в целом в сравнении с просто 0.75 и диапазоном 0-1000.
Записан
і
Умник
****
Offline Offline

Сообщений: 658

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 337
-вас поблагодарили: 350



Просмотр профиля
Ответ #452 : Сентябрь 08, 2015, 16:12:59 �

Допустим, вы увидели $10. Стало быть, в другом конверте лежат либо $5, либо $20 с вероятностью 50 х 50. По теории вероятности средневзвешенная сумма в конверте B равна: 0,5 х $5 + 0,5 х $20 = $12,5. Разумеется, открыв альтернативный конверт, вы увидите не эту сумму, а либо 20, либо 5 долларов, просто по условиям игры. Но 12,5 — такова (по вычислениям), как кажется, будет средняя сумма выигрыша на кон при проведении достаточно большого числа раундов, если вы всегда будете менять конверты.
Какая разница, меняю я или не меняю конверт?
Средняя сумма на кон от этого же не меняется.

я вам поставил спасибку, однако исключительно за участие. тема не просто так поднята мною, и у меня реально интерес к подходу от Вилли. а в том, что вы указали есть своя логика, безусловно, но если вы поинтересуетесь 3-4-мя страницами наугад из данного топика, то поймете почему только за участие (просто пересказать мне здесь будет не просто сложно, вообще невозиожно, сорри)
Да. В принципе я передумал. Как раз пример, когда коз и дверей гораздо больше, и демонстрируют то, что выбор нужно менять.
Например: если коз 100 и ведущий открывает 98 дверей с козами. То нужно менять в однозначно.

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

☭-Изделие 20Д

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан

Freude, schöner Götterfunken,
     Tochter aus Elisium
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #453 : Сентябрь 08, 2015, 16:51:17 �

а, теперь я понял твою мысль, вполне корректно попытаться учесть нижнюю границу, только пока не понимаю как это повлияет на результат в целом в сравнении с просто 0.75 и диапазоном 0-1000.
Ну как-же.

Пример:
Пусть суммы в конвертах: 1000; 1050; 1100; 1200; 1020; 1090
Тогда без учёта нижней границы мы будем менять при 0-1800     Показать скрытый текст
А посмотреть на низы, то там 'минимум' 500. Т.е. диапазон сумм смещается
500-2400
1900*0,75 = 1425 + 500
1425 + 500 = 1925

Теперь осталось подтвердить эксперементально  Чтение
Записан
Smith
Из мудрейших мудрейший
**
Offline Offline

Сообщений: 2950

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 286
-вас поблагодарили: 305


PeAcE


Просмотр профиля
Ответ #454 : Сентябрь 08, 2015, 19:59:00 �


Теперь осталось подтвердить эксперементально  Чтение


и я о том же.
кроме того, чем ближе ты смещаешься к верхней планке, тем выше вероятность в количествах проигрышей (хотя в отдельных случаях сумма выигрыша может быть значительно большей).
Записан
0101
Давненько
**
Offline Offline

Сообщений: 101

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 34
-вас поблагодарили: 31


Просмотр профиля
Ответ #455 : Сентябрь 08, 2015, 20:14:18 �

дублирую)
http://nazva.net/forum/in....msg259950.html#msg259950
Записан
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #456 : Сентябрь 09, 2015, 10:51:18 �

Теперь осталось подтвердить эксперементально  Чтение

и я о том же.

хм..
цикл из 1000 игр
максимальная возможная сумма | сумма в конверте 1 | сумма в 2 | алгоритм 0,25 | 0,5 | "улучшеный 0,5" | 0,75 | "улучшеный 0,75"

Алгоритм Х
Меняем конверт при Si+1 > Х*MAX(S1-i)

"Улучшеный алгоритм Х" учитывает и нижнюю границу
Меняем конверт при Si+1 > Х*(MAX(S1-i) - MIN(S1-i)) + MIN(S1-i)

Получилось, что 0,5 лучше, чем 0,75 (что тоже можно объяснить)
И учет верхней границы не дал улучшения на интервале [0 - 2000] (что логично, т.к. нижней границы нет)
Но вот на интервале [1000 - 3000] даже дал ухудшения Нет


при интервале [0 - 2000]


при интервале [1000 - 3000]


Процент показывает отношение выигранной суммы к возможной максимальной

Эти пользователи сказали вам СПАСИБО :

Smith

За это сообщение 1 пользователь сказал спасибо!
Записан
Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #457 : Сентябрь 22, 2015, 19:28:04 �

Как я ранее говорила, перед Игроком не просто два конверта А и В, а три суммы: Х, 1/2Х и 2Х.

Имеем изначальные вероятности нахождения в конверте какой-либо из сумм=1/3 ( а не 1/2)!!

Пусть Игрок открывает конверт с суммой Х. Она занимает среднюю позицию  из трех приведенных выше сумм.
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*1/2Х + 1/3* 2Х = 5/6Х

Но Игрок не знает наверняка, что она посредине. Она может иметь наименьшее из значений. Т.е. две другие  равны 2Х и 4Х.
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*2Х + 1/3*4Х = 2Х

Сумма в конверте, открытом Игроком может иметь гипотетически  и наибольшее значение к  оставшимся двум. Т.е. они= 1/2Х и 1/4Х
Статистически ожидаемая сумма в конверте B составит 1/3*1/2Х + 1/3*1/4Х = 1/4Х

Высчитываем среднюю все трех статистически ожидаемых сумм:

(5/6Х+2Х+1/4Х)/3=1,027777....Х

Вывод: смена конверта даст увеличение ожидаемой средней суммы примерно на 0,027.

Это согласуется и с расчетами Вилли и со "стратегией Ковера".
Чем больше сумма на кону, тем с меньшей вероятностью надо менять конверты.

 
Записан
Вилли ☂
Гений-Говорун
*
Offline Offline

Сообщений: 1572

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 532
-вас поблагодарили: 722





Просмотр профиля
Ответ #458 : Сентябрь 23, 2015, 08:39:41 �

Парочка замечаний.

Пусть Игрок открывает конверт с суммой Х. Она занимает среднюю позицию  из трех приведенных выше сумм.
Вероятность этого события не 1/3

Цитировать
Статистически ожидаемая сумма ...
Вывод: смена конверта даст увеличение ожидаемой средней суммы примерно на 0,027.
Как раз в этом и парадокс. Типа: всегда выгодно менять, даж уже поменяв - менять обратно и "ожидаемая сумма" постоянно увеличивается.
Парадокс разрешается, когда понимаешь, что денег ограничено, а не бесконечно. Т.е. вероятность нахождения суммы больше какогото А равна нулю. И-за этого "получить" в конверте сумму 1/2Х или Х или 2Х не равновероятны.
Записан
Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #459 : Сентябрь 23, 2015, 10:04:30 �

Вероятность по суммам 1/3. Согласитесь, посмотрев в конверт, вы видите некую сумму, а еще две держите в уме. Причем, вас заранее об этом факте уведомили.

В этом парадоксе намешаны две вероятности: 1. по ожидаемой прибыли, 2.по вероятности события

и 3.ожидания при смене конвертов, не раскрывая их.

Разберемся.
По ожиданию возможной прибыли вероятность суммы=1/3. Причем с вероятностью её возникновения =1/2. ( это я рассчитывала ранее.)
Можно обозначить так называемую зону риска. Если сумма в конверте достаточно мала, а разницу вам обозначили максимально большой, (например у вас в конверте 100р., а в другом сумма может быть больше в 100раз или меньше в 100раз) то естественно, с вероятностью 1/2 может стать обладателем 100000р. Среднюю статистическую не считаю, понятно, что она огромна. В этом случае выгодно менять конверт.
Но если в конверте лежит сумма, приближающаяся по значению к бесконечности, то смена конверта с вероятностью  приближения к 100%!!! ведет к снижению суммы в другом конверте, т..к. больше бесконечности вы получить не сможете. Это, собственно, и отражает "стратегия Ковера". Нельзя рисковать большими суммами на бирже, к примеру.

Что касается смены конвертов без вскрытия, то при периодической смене конверта вес (статистическая прибавка) никак расти не может, т.к. поменяв однажды с целью ожидания "+", при замене вы идете на ожидаемый "-" и обнуляете попытки.  Развитие событий идет не по спирали, а по кругу.
Записан
Netizen
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 19

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1


Просмотр профиля
Ответ #460 : Сентябрь 26, 2015, 17:39:19 �

На мой взгляд, тут парадокс весь заключается в ошибке расчета вероятности. Там никак ни 50/50 (больше или меньше), так как максимальная сумма денег конечна.

Если рассматривать "сферический в вакууме" случай, когда максимальная сумма денег бесконечна, а сумма в конверте генерируется рандомно из бесконечного множества, то тут разговоры о "прибыли" неуместны, так так рандомное число из бесконечности - это это совершенно непостижимая величина, ни к чему реальному не применима.

Если же говорить о реальных деньгах, то мы рассматриваем конечное множество. Мы не знаем максимально  и минимально возможную сумму в конверте, поэтому, не можем вычислить вероятность получить большую сумму при обмене.

Но если бы мы знали? Допустим это 1-100. Рандомно генерируемые пары конвертов, равномерно распределённые варианты.
То есть, если в конверте  50-100, то его обмен 100% проигрышный. От 2 до 50, проигрыш составляет 50%.


Если максимальная сумма не известна, то выигрышная стратегия - это следущая:
Начиная со второго выбора, считаем среднюю сумму в прошлых конвертах и если выпадает сумма меньше средней - меняем, если больше - оставляем.
Записан
Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #461 : Сентябрь 26, 2015, 19:11:11 �

перед вами только два конверта с одной попыткой замены. Какова вероятность при замене увидеть в другом конверте большую сумму, если в первом вы увидели 1000 рублей. При этом сумма может быть либо в 1000раз меньше увиденной вами, либо в 1000раз больше?
Записан
Netizen
Новенький
*
Offline Offline

Сообщений: 19

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 0
-вас поблагодарили: 1


Просмотр профиля
Ответ #462 : Сентябрь 26, 2015, 21:00:01 �

Вероятность нельзя выразить если неизвестно множество и диапазон выбора.
Ответьте на свой вопрос, если для случайного выбора суммы использовался диапазон целых чисел от 100 до 100,000,000,000,000
А потом если от 0.01 до 10,000

А а если абстрактно, без лимитов, "числа близкого к бесконечности" не может быть, любое такое число можно возвести в степень самого себя и повторять бесконечное число раз. )
Записан
Tmin
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 291

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 22
-вас поблагодарили: 32


Просмотр профиля
Ответ #463 : Сентябрь 26, 2015, 21:19:47 �

del
Последнее редактирование: Октябрь 02, 2015, 18:58:50 от Tmin Записан
Бляхамуха
Свой человек
***
Offline Offline

Сообщений: 345

СПАСИБО
-вы поблагодарили: 138
-вас поблагодарили: 81


Просмотр профиля
Ответ #464 : Сентябрь 26, 2015, 21:52:52 �

Вероятность нельзя выразить если неизвестно множество и диапазон выбора.
Ответьте на свой вопрос, если для случайного выбора суммы использовался диапазон целых чисел от 100 до 100,000,000,000,000
А потом если от 0.01 до 10,000

А а если абстрактно, без лимитов, "числа близкого к бесконечности" не может быть, любое такое число можно возвести в степень самого себя и повторять бесконечное число раз. )
причем здесь абстрактные суммы?
Вам конкретно сказали ожидаемый результат по суммам от увиденной. Пример с 1000ю рублями дан мною не случайно. Увидев эту сумму, вы должны решиться на замену конверта, либо нет. Какова вероятность, что в другом конверте окажется 1000000 рублей или 1 рубль?
Записан
Страниц: 1 ... 29 30 [31] 32 33 34
  Печать  
 
Перейти в: