Парадокс двух конвертов

[gst12345]

А почему с 1/2 то?? Где об этом сказано в условии? необоснованное предположение.

[Лев]

Можно поточнее?

ОК.
Вариантов распределения сумм по конвертам бесконечное число . Причем вероятность каждого варианта больше нуля. Получаем, что вероятность каждого распределения - бесконечно малая величина.

Вот где собака зарыта 

Вы считаете (ну, как всегда, впрочем) чистейший с точки зрения математики вариант.

А для меня (и, как я понял, не для меня одного) вероятность нахождения в конверте определенных сумм ЗАВИСИТ от вполне рациональных условий. То есть, например, вероятность наличия в конверте 10-ти долларов намного выше оной для 999 квинтиллионов. Я не говорю, что их там НЕ МОЖЕТ быть. Просто, скорее будет 10.

Условие не отрицает данную точку зрения. Там честно говорится, что мы НЕ ЗНАЕМ, как их туда кладут.

[gst12345]

Эта задача имеет аналог в анекдоте.
"Плачет девочка, собрались люди, спрашивают, что случилось. Говорит - Потеряла рубль. Ей чтоб не плакала дают добрые люди рубль, а она начинает плакать еще сильней - Теперь бы у нее могло быть два рубля, а так один." Стопроцентов те же рассуждения.
Человеку дали конверт с пятеркой и десяткой. Он с первого раза угадывает десятку (уже выиграл в два раза больше). Но не радуется, потому что во втором могла бы быть 20 (по его мнению), мог бы выграть в 4 раза больше. Делим шкуру неубитого медведя в общем.

[Лев]

Нет, это не совсем так... 

[gst12345]

А я уверен, что так..
Если в конверте лежат 5 и 10, истинное мат.ожидание в игре -7,5 ((5+10 )/2)
Если лежит 10 и 20, мат.ожидание - 15 ((10 + 20)/2)
Мы можем в обоих случаях выграть или проиграть двукратную сумму, это не зависит от пары чисел. Разница только, что игра может быть по крупному или по мелочи. Тоесть на кону - крупная сумма или мелочь. Чтобы выиграть сумму в два раза больше - достаточно сделать один выбор (первый конверт). Зачем делать еще что-то? Денег в конвертах больше не станет. Усложняем игру за те же самые деньги??

[Smith]

В первом выбранном и вскрытом нами случайным образом конверте обнаруживается некое число Х. Нас интересует вопрос: с какой вероятностью в оставшемся (втором) конверте может оказаться число 2Х и с какой вероятностью там же может оказаться число Х/2.
Для ответа на этот вопрос я предлагаю условно разделить интервал всех возможных значений суммы во втором конверте на две части: (от 1 до n/2 - здесь все целые числа) и (от n/2+1 до n - здесь исключительно четные числа).
Тогда вероятность попадания числа Х во вскрытом нами первом конверте изначально известного нам конечного интервала N (независимо от того - вскрыли мы конверт или нет) составит:
- для второго интервала - 1/3;
- первого интервала - 2/3.
Далее. Еесли число Х в первом конверте попадает в интервал (от n/2 до n), то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит Х/2.
Если же число Х в первом конверте попадает в интервал (от 1 до n/2), то происходит следующее:
- если число Х нечетное, то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит 2Х;
- если число Х четное, то с вероятностью 50% (или 1/6 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте может составить как Х/2, так и 2Х.
Деление на четные и целые здесь приведено мной исключительно для иллюстрации примера, однако плотности распределения вероятностей для Х в первом конверте в первой и второй половинах интервала N всегда будет соотносится как 2/3 : 1/3, со всеми вытекающими для второго конверта.

эх, знать бы N...

[gst12345]

Но Умник утверждает, что не важно есть ли вообще число N - его вопрос о бесконечно малых вероятностях нам это говорит.

Ошибка здесь только в том, что человек не верит в существующий факт, пока в нем не убедится лично. Это называется надеятся на чудо.
Когда мы выбираем конверты изменить их содержимое нельзя. Выбор идет между двумя суммами. И для этого достаточно одного выбора!

Второй выбор - НЕ ВЫБОР вообще. Мы ОБРЕЧЕНЫ УЖЕ на результат оставшийся во втором конверте. Но человеческая сущность надеется до последнего на иллюзорные шансы.

То есть путают АКТИВНЫЙ выбор в первом конверте, которого НИКТО не знает наперед и для которого есть вероятность, с ПАССИВНЫМ ознакомлением с оставшимся содержимым второго конверта. Выбор второго конверта - это не выбор суммы в этом конверте. Мы обречены на то что там есть, тужься - не тужься, угадуй - не угадуй. Не знание свершившегося факта - не дает возможность выбора.

Выбор - это активное действие с непредвиденным результатом, а здесь организаторы после первого конверта уже знают содержимое второго. Игрок обречен на пассивное открытие второго конверта. Интрига умерла после первого.

[Smith]

Выбор - это активное действие с непредвиденным результатом, а здесь организаторы после первого конверта уже знают содержимое второго. Игрок обречен на пассивное открытие второго конверта. Интрига умерла после первого.

ну и что, что знают? этим фактом они никак не влияют на выбор игроком стратегии - менять или не менять конверт. и только от того, насколько в конечном счете игрок правильно себя поведет зависит исход игры.
кстати, пусть например организаторы не знают? ну, положили они деньги в одинаковые конверты, потом бросили конверты в мешок, а игрок вытянул один наугад, никому не говорит, что увидел, сидит - задумался...

[gst12345]

Выбор конверта существует, выбора денег во втором конверте нет. Игрок ОБРЕЧЕН увидеть одну единственную сумму в оставшемся конверте. Где выбор??

[Smith]

Когда мы выбираем конверты изменить их содержимое нельзя. Выбор идет между двумя суммами. И для этого достаточно одного выбора!

содержимое обоих конвертов поменять нельзя, а поменять конверт или нет в зависимости от увиденной там суммы - очень даже можно. и кстати, при просмотре содержимого первого конверта игрок так или иначе получает некоторую дополнительную информацию

[Smith]

Выбор конверта существует, выбора денег во втором конверте нет. Игрок ОБРЕЧЕН увидеть одну единственную сумму в оставшемся конверте. Где выбор??

выбор в том, какую суммуоставить у себя

[gst12345]

Когда мы выбираем конверты изменить их содержимое нельзя. Выбор идет между двумя суммами. И для этого достаточно одного выбора!

содержимое обоих конвертов поменять нельзя, а поменять конверт или нет в зависимости от увиденной там суммы - очень даже можно. и кстати, при просмотре содержимого первого конверта игрок так или иначе получает некоторую дополнительную информацию

Получает информацию о первом конверте и надежду, что во втором может быть больше. Но надежда - это не вероятность. Когда бросаешь кубики и хочешь 6 увидеть, вероятность 1/6, а надеешься, что выпадет сразу 6. Это разные вещи.

Игра только тогда имеет вероятность, когда никто, кроме Бога не знает, чем она закончится. Если игрок видел первый конверт, а организаторы видели, что в обоих, то по отдельности они не знают, но вместе их знания создают свершившийся факт. Свершившиеся факты не зависят, от наблюдателей, и их знаний частичных или нулевых.

[gst12345]

Выбор конверта существует, выбора денег во втором конверте нет. Игрок ОБРЕЧЕН увидеть одну единственную сумму в оставшемся конверте. Где выбор??

выбор в том, какую суммуоставить у себя

для этого хватит одного действия!

[Smith]

gst12345, если Вы согласны хотябы отчасти с тем, о чем я писАл парой постами выше (« Ответ #125 : Сегодня в 08:57:09 »), то Вы не можете не согласиться, что в определенных случаях это знание нам очень даже может помочь.

[Smith]

Выбор конверта существует, выбора денег во втором конверте нет. Игрок ОБРЕЧЕН увидеть одну единственную сумму в оставшемся конверте. Где выбор??

выбор в том, какую суммуоставить у себя

для этого хватит одного действия!

ну и что? и одно действие можно расчитать с т.з. теорвер