fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� : Март 12, 2013, 21:57:52 � |
|
Вася пил кофе с молоком. Сначала он наливал полную чашку кофе, выпивал некоторую ее часть, затем доверху наливал молоко, выпивал часть смеси, снова наливал молоко доверху и т.д. Каждый раз он выпивал вдвое меньше предыдущего, кроме последнего раза, когда он выпивал чашку до дна. Чего он больше выпил – кофе или молока?
|
|
� Последнее редактирование: Март 13, 2013, 00:24:13 от fortpost �
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Tim
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 1079
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 128
-вас поблагодарили: 1145
|
|
� Ответ #1 : Март 12, 2013, 22:52:18 � |
|
|
|
|
Записан
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #2 : Март 13, 2013, 00:14:34 � |
|
Эх, жалко... Ну, тогда пусть будет эта.
|
|
� Последнее редактирование: Март 13, 2013, 00:27:08 от fortpost �
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Александёр
Давненько
Offline
Сообщений: 70
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39
|
|
� Ответ #3 : Март 13, 2013, 01:02:17 � |
|
Показать скрытый текст Думается, как-то так решать нужно. Пусть объём чашки - x мл, а Вася в первый раз выпил y мл кофе. Тогда молока он долил в первый раз y мл, затем y/2 мл, потом у/4 мл и в последний, k-тый раз у/ 2 k-1 мл. Суммируя геометрическую прогрессию (проще это сделать "в уме", представив её как разность двух бесконечно убываюших прогрессий со знаменателем 0,5 и первыми элементами y и у/ 2 k , суммы которых равны 2y и у/ 2 k-1=y*2 1-k соответственно), имеем, что Вася выпил y*(2-21-k)мл молока и x мл кофе. Осталось сравнить эти величины, но как избавиться от введённых переменных - ума не приложу... Ясно одно - если Вася в первый раз выпил не больше половины чашки (2y<=x), то кофе всё-таки было выпито больше, чем молока
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #4 : Март 13, 2013, 08:18:56 � |
|
Александёр, направление мыслей ваших верное! Осталось чуть-чуть дожать.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Booka1a
Свой человек
Offline
Сообщений: 223
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 6
-вас поблагодарили: 63
|
|
� Ответ #5 : Март 13, 2013, 10:22:26 � |
|
Показать скрытый текст lim y*(2-2^1-k) при k стремящемся к бесконечности равен 2y (т.к. 2^1-k стремится к нулю), но!! т.к. 2^1-k всетаки не ноль, то предел всетаки чуть меньше чем 2y если y равен половине х или меньше половины х, то было выпито больше кофе.
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #6 : Март 13, 2013, 12:51:47 � |
|
Показать скрытый текст lim y*(2-2^1-k) при k стремящемся к бесконечности равен 2y (т.к. 2^1-k стремится к нулю), но!! т.к. 2^1-k всетаки не ноль, то предел всетаки чуть меньше чем 2y если y равен половине х или меньше половины х, то было выпито больше кофе. Ну конечно же! Если y < 1/(2-2 1-k) или, что то же самое y < 2 k - 1/(2 k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Александёр
Давненько
Offline
Сообщений: 70
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39
|
|
� Ответ #7 : Март 13, 2013, 13:26:36 � |
|
Показать скрытый текст lim y*(2-2^1-k) при k стремящемся к бесконечности равен 2y (т.к. 2^1-k стремится к нулю), но!! т.к. 2^1-k всетаки не ноль, то предел все-таки чуть меньше чем 2y если y равен половине х или меньше половины х, то было выпито больше кофе. Ну конечно же! Если y < 1/(2-2 1-k) или, что то же самое y < 2 k - 1/(2 k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе. Не согласен, а если х - очень мал, то кофе меньше выпьется. И вообще, я не понимаю, как вы сравниваете размерную величину y (объём выпитого кофе в первый раз измеряется в мл) и безразмерную величину 2k - 1/(2k - 1) - это же нонсенс. Тогда, конечно, можно было бы и так записать: если y < x/(2-2 1-k) или, что то же самое y < x* 2 k - 1/(2 k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе. Но мне кажется, это и так очевидно.
|
|
|
Записан
|
|
|
|
Александёр
Давненько
Offline
Сообщений: 70
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39
|
|
� Ответ #8 : Март 13, 2013, 13:41:25 � |
|
Показать скрытый текст lim y*(2-2^1-k) при k стремящемся к бесконечности равен 2y (т.к. 2^1-k стремится к нулю), но!! т.к. 2^1-k всетаки не ноль, то предел всетаки чуть меньше чем 2y если y равен половине х или меньше половины х, то было выпито больше кофе. Я уже написал выше. Ясно одно - если Вася в первый раз выпил не больше половины чашки (2y<=x), то кофе всё-таки было выпито больше, чем молока. Позволю себе Вас поправить: предел всё-таки 2y , а вот любое значение переменной величины 2-2^1-k при конечном k - "чуть меньше чем 2y"
|
|
� Последнее редактирование: Март 13, 2013, 13:46:12 от Александёр �
|
Записан
|
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #9 : Март 13, 2013, 14:19:38 � |
|
... а если х - очень мал, то кофе меньше выпьется.
А почему так? Можете пояснить? ... можно было бы и так записать: если y < x/(2-21-k) или, что то же самое y < x* 2k - 1/(2k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе. Но мне кажется, это и так очевидно.
Тут возражений не имеется.
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
Александёр
Давненько
Offline
Сообщений: 70
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39
|
|
� Ответ #10 : Март 13, 2013, 15:31:00 � |
|
... можно было бы и так записать: если y < x/(2-21-k) или, что то же самое y < x* 2k - 1/(2k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе. Но мне кажется, это и так очевидно.
Тут возражений не имеется. И всё же, повторюсь! Что нам делать с введёнными переменными? В условии задачи ведь не даны ни количество итераций k, ни хотя бы отношение объёмов чашки и первого глотка x/y, а без этих данных нельзя сказать, справедливо ли неравенство y < x/(2-2 1-k), а значит, чего же всё-таки было выпито больше, кофе или молока... Остаётся уповать на здравый смысл: Вася первым глотком отпил меньше половины кружки, так как хотел дальше пить кофе с молоком, а не молоко с кофе . Тогда ответ мы знаем: молока выпито меньше кофе
|
|
� Последнее редактирование: Март 13, 2013, 15:46:59 от Александёр �
|
Записан
|
|
|
|
Александёр
Давненько
Offline
Сообщений: 70
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 11
-вас поблагодарили: 39
|
|
� Ответ #11 : Март 13, 2013, 15:34:15 � |
|
... а если х - очень мал, то кофе меньше выпьется.
А почему так? Можете пояснить? Ну как же "почему"? Кофе выпито x мл, а количество выпитого молока от x не зависит, оно равно y*(2-2 1-k) мл. Если, как Вы писали раньше положить y < 1/(2-2 1-k), то при объёме чашки x<1 мл вполне возможна ситуация: x/(2-21-k) < y < 1/(2-2 1-k), левая часть неравенства показывает то, что молока всё-таки выпито больше.
|
|
� Последнее редактирование: Март 13, 2013, 15:40:59 от Александёр �
|
Записан
|
|
|
|
iPhonograph
Гений-Говорун
Offline
Сообщений: 2100
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 561
-вас поблагодарили: 1315
Дискоед
|
|
� Ответ #12 : Март 13, 2013, 20:37:21 � |
|
Вася пил кофе с молоком. Сначала он наливал полную чашку кофе, выпивал некоторую ее часть, затем доверху наливал молоко, выпивал часть смеси, снова наливал молоко доверху и т.д. Каждый раз он выпивал вдвое меньше предыдущего, кроме последнего раза, когда он выпивал чашку до дна. Чего он больше выпил – кофе или молока?
Вася последовательными разбавлениями добивался оптимальной температуры смеси, и в конце выпил всё залпом?
|
|
|
Записан
|
"Было бы величайшей ошибкой думать" (с) В.И.Ленин, Полн. cобр. cоч., т.34, стр.375
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #13 : Март 13, 2013, 21:12:29 � |
|
... можно было бы и так записать: если y < x/(2-21-k) или, что то же самое y < x* 2k - 1/(2k - 1), то молока будет выпито меньше, чем кофе. Но мне кажется, это и так очевидно.
Тут возражений не имеется. И всё же, повторюсь! Что нам делать с введёнными переменными? В условии задачи ведь не даны ни количество итераций k, ни хотя бы отношение объёмов чашки и первого глотка x/y, а без этих данных нельзя сказать, справедливо ли неравенство y < x/(2-2 1-k), а значит, чего же всё-таки было выпито больше, кофе или молока... Остаётся уповать на здравый смысл: Вася первым глотком отпил меньше половины кружки, так как хотел дальше пить кофе с молоком, а не молоко с кофе . Тогда ответ мы знаем: молока выпито меньше кофе Задача была опубликована в журнале “Математика в школе” в №1 за 1991 год. Ее предложил известный российский математик Г.А. Гальперин, известный среди учителей своими трудами “Математические бильярды” и “Московские математические олимпиады”. На первый взгляд, она кажется достаточно простой и требующей всего лишь несколько арифметических действий. Напротив, для ее решения потребуются не только умение логически мыслить, но и оперировать со степенями, выносить общий множитель за скобки, решать задачи на геометрическую прогрессию. И что самое важное: ответ к этой задаче на переливание можно указать только условный.
Автор специально указывает не все данные, дабы имелся простор для творчества и фантазии.
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
fortpost
Высший разум
Offline
Сообщений: 6853
СПАСИБО
-вы поблагодарили: 1794
-вас поблагодарили: 2261
|
|
� Ответ #14 : Март 13, 2013, 21:22:14 � |
|
... а если х - очень мал, то кофе меньше выпьется.
А почему так? Можете пояснить? Ну как же "почему"? Кофе выпито x мл, а количество выпитого молока от x не зависит, оно равно y*(2-2 1-k) мл. Если, как Вы писали раньше положить y < 1/(2-2 1-k), то при объёме чашки x<1 мл вполне возможна ситуация: x/(2-21-k) < y < 1/(2-2 1-k), левая часть неравенства показывает то, что молока всё-таки выпито больше. Ошибочка вышла. Конечно, должно быть y < x/(2-2 1-k).
|
|
|
Записан
|
Лучший способ оказаться в дураках, это считать себя умнее других. Ф. Ларошфуко
|
|
|
|