Парадокс двух конвертов

[Um_nik]

А почему с 1/2 то?? Где об этом сказано в условии? необоснованное предположение.

Я что-то сказал про 1/2 в том посте?

Вот где собака зарыта 
Вы считаете (ну, как всегда, впрочем) чистейший с точки зрения математики вариант.

А для меня (и, как я понял, не для меня одного) вероятность нахождения в конверте определенных сумм ЗАВИСИТ от вполне рациональных условий. То есть, например, вероятность наличия в конверте 10-ти долларов намного выше оной для 999 квинтиллионов. Я не говорю, что их там НЕ МОЖЕТ быть. Просто, скорее будет 10.

Условие не отрицает данную точку зрения. Там честно говорится, что мы НЕ ЗНАЕМ, как их туда кладут.

Абсолютно согласен. Я даже ожидал такую реплику, поэтому встречный вопрос: кол-во чисел между 9,99 и 10 бесконечно? Можно ли считать, что все эти вероятности будут равны?

[Um_nik]

Нет, это не совсем так... 

Более того, это совсем не так.

[Um_nik]

В первом выбранном и вскрытом нами случайным образом конверте обнаруживается некое число Х. Нас интересует вопрос: с какой вероятностью в оставшемся (втором) конверте может оказаться число 2Х и с какой вероятностью там же может оказаться число Х/2.
Для ответа на этот вопрос я предлагаю условно разделить интервал всех возможных значений суммы во втором конверте на две части: (от 1 до n/2 - здесь все целые числа) и (от n/2+1 до n - здесь исключительно четные числа).
Тогда вероятность попадания числа Х во вскрытом нами первом конверте изначально известного нам конечного интервала N (независимо от того - вскрыли мы конверт или нет) составит:
- для второго интервала - 1/3;
- первого интервала - 2/3.
Далее. Еесли число Х в первом конверте попадает в интервал (от n/2 до n), то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит Х/2.
Если же число Х в первом конверте попадает в интервал (от 1 до n/2), то происходит следующее:
- если число Х нечетное, то с вероятностью 100% (или 1/3 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте составит 2Х;
- если число Х четное, то с вероятностью 50% (или 1/6 всех возможных выриантов из интервала N) число во втором конверте может составить как Х/2, так и 2Х.
Деление на четные и целые здесь приведено мной исключительно для иллюстрации примера, однако плотности распределения вероятностей для Х в первом конверте в первой и второй половинах интервала N всегда будет соотносится как 2/3 : 1/3, со всеми вытекающими для второго конверта.

эх, знать бы N...

Смит, мы решаем разные задачи.

Я принимаю N=бесконечность. А у тебя это определенное число.

[gst12345]

gst12345, если Вы согласны хотябы отчасти с тем, о чем я писАл парой постами выше (« Ответ #125 : Сегодня в 08:57:09 »), то Вы не можете не согласиться, что в определенных случаях это знание нам очень даже может помочь.

Ладно, если вы не верите здоровому глузду, который я уверен подсказывает вам, что конверты равноценны, а верите левой формуле. Пожалуйста, вот вам формульное объяснение.

Как я писАл выше, истинное мат.ожидание для выбирающего конверты:

Если в конверте лежат 5 и 10, истинное мат.ожидание в игре -7,5 ((5+10 )/2)
Если лежит 10 и 20, мат.ожидание - 15 ((10 + 20)/2)

В общем случае = (Min + Max) / 2

Если суммы в конвертах не менять, вы в прогрессии всегда будете стремиться именно к этой сумме за большое число игр. Тоесть можно сказать что в отдельных играх, вы выигрываете мат.ожидание и плюс-минус 1/3 от мат.ожидания.

(Min + Max) / 2  +  1/3 * (Min + Max) / 2

Это окончательная формула игры.

[gst12345]

Задача для Смита и Умника (последняя, больше спорить не буду):

Вы и другой игрок имеете выбор между двумя конвертами. В один положили миллион баксов, в другой - рубль.
Другой игрок первым подошел и взял один из конвертов. Вы взяли второй (ваш любимый).

Соперник вышел со своим конвертом на улицу, вскрыл его и увидел миллион баксов. Вы об этом не знаете. Вы надеетесь, что в вашем конверте либо миллион, либо рубль (НАДЕЯТСЯ - вполне резонно). Какая вероятность (не надежда) сейчас вытащить из вашего конверта миллион баксов? Игра еще длится по вашему? Что нужно сделать чтобы не ошибится и не вытащить рубль?

[Um_nik]

Задача для Смита и Умника (последняя, больше спорить не буду):

Вы и другой игрок имеете выбор между двумя конвертами. В один положили миллион баксов, в другой - рубль.
Другой игрок первым подошел и взял один из конвертов. Вы взяли второй (ваш любимый).

Соперник вышел со своим конвертом на улицу, вскрыл его и увидел миллион баксов. Вы об этом не знаете. Вы надеетесь, что в вашем конверте либо миллион, либо рубль (НАДЕЯТСЯ - вполне резонно). Какая вероятность (не надежда) сейчас вытащить из вашего конверта миллион баксов? Игра еще длится по вашему? Что нужно сделать чтобы не ошибится и не вытащить рубль?

Эта задача не имеет никакого отношения к обсуждаемой задаче.

[Smith]

Смит, мы решаем разные задачи.

Я принимаю N=бесконечность. А у тебя это определенное число.

не-а. я тоже не знаю верхней планки, я только утверждаю, что она есть. и чем ближе мы сумеем подобраться к ее пониманию, тем больше вероятности выиграть, и спользуя полученные знания с учетом написанного мною ранее.
а планка.. ну для тебя с gst12345 она одна, для казино - другая (но тоже вполне граничная), для ТВ-шоу - третья, но не более определенной (и вполне ограниченной)

[Smith]

Задача для Смита и Умника (последняя, больше спорить не буду):

Вы и другой игрок имеете выбор между двумя конвертами. В один положили миллион баксов, в другой - рубль.
Другой игрок первым подошел и взял один из конвертов. Вы взяли второй (ваш любимый).

Соперник вышел со своим конвертом на улицу, вскрыл его и увидел миллион баксов. Вы об этом не знаете. Вы надеетесь, что в вашем конверте либо миллион, либо рубль (НАДЕЯТСЯ - вполне резонно). Какая вероятность (не надежда) сейчас вытащить из вашего конверта миллион баксов? Игра еще длится по вашему? Что нужно сделать чтобы не ошибится и не вытащить рубль?

Эта задача не имеет никакого отношения к обсуждаемой задаче.

опередил. gst12345, это совсем другой расклад

[Um_nik]

не-а. я тоже не знаю верхней планки, я только утверждаю, что она есть. и чем ближе мы сумеем подобраться к ее пониманию, тем больше вероятности выиграть, и спользуя полученные знания с учетом написанного мною ранее.
а планка.. ну для тебя с gst12345 она одна, для казино - другая (но тоже вполне граничная), для ТВ-шоу - третья, но не более определенной (и вполне ограниченной)

В реальной жизни - конечно.

Как уже сказал Лев, я решаю эту задачу как чисто математическую.

[Um_nik]

опередил

[gst12345]

Имеет самый прямой, в ней так же вероятность абсолютная в мировых координатах путается с личной надеждой неосведомленного игрока.

[Um_nik]

Имеет самый прямой, в ней так же вероятность абсолютная в мировых координатах путается с личной надеждой неосведомленного игрока.

ОК. В закрытый ящик кинули кубик (он уже упал). Какова вероятность, что выпала 6?

[gst12345]

не-а. я тоже не знаю верхней планки, я только утверждаю, что она есть. и чем ближе мы сумеем подобраться к ее пониманию, тем больше вероятности выиграть, и спользуя полученные знания с учетом написанного мною ранее.
а планка.. ну для тебя с gst12345 она одна, для казино - другая (но тоже вполне граничная), для ТВ-шоу - третья, но не более определенной (и вполне ограниченной)

В реальной жизни - конечно.

Как уже сказал Лев, я решаю эту задачу как чисто математическую.

Обещал не спорить но не вышло, извините уж.

Математическое решение должно быть правильным, а оно у вас хромает.

Сумма в обоих конвертах деленная на два - это мат.ожидание на сумму выиграша в игре, а не то что вы придумали.

И играете вы не на половину победы, а на 1/3. Можно прибавить к мат.ожиданию 1/3, можно отнять ту же 1/3.

А вы в двух конвертах ищете ТРИ числа!!! Одно увидели в первом, и еще два напророчили во второй!! Тоесть вероятность для 5 - 1/2, для 20 - 1/2, а еще есть вероятность что и 10 могла быть во втором конверте - тоже 1/2. Итого 3/2 на второй конверт.

[Um_nik]

а еще есть вероятность что и 10 могла быть во втором конверте - тоже 1/2. Итого 3/2 на второй конверт.

Если 10 в первом, то во втором ее быть не может. Так что все у нас нормально.

[gst12345]

Имеет самый прямой, в ней так же вероятность абсолютная в мировых координатах путается с личной надеждой неосведомленного игрока.

ОК. В закрытый ящик кинули кубик (он уже упал). Какова вероятность, что выпала 6?

До падения вероятность, что ВЫПАЛА - 1/6, после падения - либо 0 либо 1.

Вы путаете шансы кубика упасть на какую-то сторону, со своими шансами угадать это.